Question

[Olimpíada Canadense de Matemática]

Encontre os valores reais de x que satisfazem à equação abaixo:

$x^2 + \frac{\big{x^2}}{\big{\left(x+1\right)^2}} = 3.$

Answer 1

Resposta:

x=[1±(5½)]/2



Explicação passo a passo:

x²+(x²)/(x+1)²=3 , sendo x≠-1 , =>

x²(x²+2x+2)=3(x²+2x+1) =>

x⁴+2x³-x²-6x-3=0. Aqui um método útil é perceber que uma equação do quarto grau pode ser imaginado como o produto de 2 fatores , em que cada fator é uma equação do 2 grau , dessa forma:

(x²+ax+b)(x²+cx+d)=0 , desenvolvendo:

x⁴+(c+a)x³+(d+b+ac)x²+(ad+cb)x+bd=0 , comparando com a equação original , chegamos a um sistema de equações:

c+a=2 (I)

d+b+ac=-1 (II)

ad+bc=-6 (III)

bd=-3 (IV)

observando as equações (III) e (IV) podemos testar valores para b e observar se satisfaz o sistema:

p/ b=0 => d=0 não satisfaz (III)

p/ b=-1 => d=3 e assim 3a-c=-6 , mas a+c=2 , logo a=-1 e portanto c=3 , veja que esse conjunto de valores satisfazem todas as equações , dessa forma , a equação original pode ser escrita como:

(x²-x-1)(x²+3x+3)=0 isso é verdade somente se:

x²+3x+3=0 , cujo Delta=-3(não possui solução real)

ou x²-x-1=0 , cujo Delta=5 e assim:

x=[1±(5½)]/2.

Tais soluções são possíveis tendo em vista que a única condição de existência imposta foi x≠-1.

Uma equação do 4ª grau com coeficientes reais sempre pode ser decomposta em 2 fatores do 2ª grau , pois , mesmo que existam raízes complexas , elas aparecem aos pares , de modo que o produto (x-z)(x-ż)=x²-2Re(z)+|z|² , todos os coeficientes são reais.



Answer 2

$\displaystyle \sf x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2} + 3 \\\\\\ x^2-2\cdot x\cdot \frac{x}{(x+1)}+\frac{x^2}{(x+1)^2} =3-2\cdot x\cdot \frac{x}{(x+1)} \\\\\\\ \left(x-\frac{x}{x+1} \right)^2 = 3-\frac{2x^2 }{(x+1)} \\\\\\ \left( \frac{x(x+1)-x}{x+1}\right)^2 = 3-\frac{2x^2 }{(x+1)} \\\\\\ \left(\frac{x^2+x-x}{x+1}\right)^2 = 3-\frac{2x^2 }{(x+1)} \\\\\\ \left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 = 3-2\cdot \frac{x^2}{x+1}$

Façamos :

$\displaystyle \sf m = \frac{x^2}{x+1} \\\\\ Da{\'i}}: \\\\ m^2 = 3-2m \\\\ m^2+2m + 1 = 3+1 \\\\ (m+1)^2 = 4\\\\ m+ 1 = \pm 2 \\\\ m=-1\pm 2 \\\\ m =-1+2 \to m = 1 \\\\ m =-1-2 \to m = -3\\\\\ \text{Desfazendo a troca de vari\'avel } : \\\\ m = -3 \to \frac{x^2}{x+1} = -3 \\\\ x^2 = -3(x+1) \to x^2 = -3x-3 \\\\ x^2 +3x+3 = 0 \\\\ \Delta < 0 \to \text{(SEM SOLU\C C\~AO REAL)}$

$\displaystyle \sf m =1 \to \frac{x^2}{x+1} = 1 \\\\\\ x^2 = x+ 1 \\\\ x^2-x-1 = 0 \\\\ x= \frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2} \\\\\\ x= \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} \\\\\\ \Large\boxed{\sf \ x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\ \ ;\ \ x_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\ }\checkmark$