Question

Olá ! Uma ajuda em matemática, por favor !

Um professor trabalhando com seus alunos, resolveu proporcionar um desafio para seus alunos descobrirem o divisor de um número e pôs as condições:
• Um número natural K;
• A razão entre K e 3, deixa o resto 2;
• A razão entre K e 7, deixa o resto 3;
• A razão entre K e 41, deixa o resto 19;

Atendendo a todas as condições, qual o resto da divisão do número (K + 1).(K + 4).(K + 22) por 861 ?
a) 7
b) 5
c) 3
d) 0

Answer 1

O resto da divisão é zero (Alternativa D).

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Com as informações trazidas, para determinados q₁, q₂ e q₃ inteiros valem as igualdades:

K = 3q₁ + 2,

K = 7q₂ + 3,

K = 41q₃ + 19,

Igualando k em cada equação e isolando q₂ e q₃ :

K = 3q₁ + 2 = 7q₂ + 3   ⇒ 7q₂ = 3q₁ - 1  ⇒ q₂ = (3q₁ - 1)/7

K = 3q₁ + 2 = 41q₃ + 19   ⇒ 41q₃ = 3q₁ - 17 ⇒ q₃ = (3q₁ - 17)/41

Como q₂ e q₃ devem ser inteiros, escolhe-se q₁ de modo que 3q₁ - 1 seja divisível por 7 e 3q₁ - 17 seja divisível por 41. Fazendo q₁ = 33, temos:

q₂ = (3q₁ - 1)/7 = (3.33 - 1)/7 = 98/7 = 14

q₃ = (3q₁ - 17)/41 =  (3 . 33 - 17)/41 = 82/41 = 2

Logo, substituindo em qualquer uma das equações, K = 101.

Substituindo na expressão (K + 1).(K + 4).(K + 22),

(101 + 1).(101 + 4).(101 + 22) = 102 . 105 . 123 = 1 317 330

Dividindo por 861 com uma simples conta de dividir, o resto é zero (Alternativa D).

Até mais!