Question

Olá pessoal.

Aqui vai um desafio:

Quantas possibilidades temos de somarmos três números e dar como resultado o número 77?

x + y + z = 77

Valendo 40 pontos.

Answer 1

=> Estamos perante um exercício de Combinação Completa

....que corresponde ao cálculo do número de soluções inteiras e não negativas da equação linear X + Y + Z = 77

...não temos qualquer restrição de valor para qualquer das raízes ..logo todas as raízes podem variar entre "0" e "77"

A Combinação Completa será definida por

C[(n+p-1), p]

cujo desenvolvimento será:

C[(n+p-1), p] = (n + p - 1)!/p!(n + p - 1 - p)!

C[(n+p-1), p] = (n + p - 1)!/p!(n - 1)! <= forma reduzida

...considerando o número (N) como o total de raízes, teremos:

N =  C[(n+p-1), p] = (n + p + 1)!/p!(n - 1)!

ou mais simplesmente

N = (n + p - 1)!/p!(n - 1)!

Onde:

n = número de raízes, neste caso n = 3

p = valor da soma das raízes, neste caso p = 77

Substituindo e resolvendo:

N = (n + p - 1)!/p!(n - 1)!

N = (3 + 77 - 1)!/77!(3 - 1)!

N = (79)!/77!(2)!

N = 79.78.77!/77!2!

N = 79.78/2

N = 6162/2

N = 3081 <= número de possibilidades pedido

NOTA IMPORTANTE:

O gabrito que indicou (2926) está ERRADO!!

...para o gabarito estar correto a equação teria de ser X + Y + Z = 75

Espero ter ajudado