Question

Olá, gostaria de uma resoluçao bem detalhada da equaçao Cos(2x).Cos(4x)=0.

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

cos(2x) · cos(4x) = 0          (i)

O produto de dois fatores é zero se pelo menos um deles é zero. Logo, devemos ter

cos(2x) = 0    ou    cos(4x) = 0

Resolvendo as equações separadamente:

•  cos(2x) = 0          (ii)

Se observarmos o ciclo trigonométrico, notamos que o cosseno é nulo para arcos cujas extremidades caem sobre o eixo vertical. Como o arco é  2x, então devemos ter

            π
2x  =  ——  +  k₁ · π
            2

Dividindo os dois lados por 2,

          π          k₁ · π
x  =  ——  +  ————
          4              2

Reduzindo as frações ao mesmo denominador 4:

          π           2k₁ · π
x  =  ——  +  ————
          4               4

          π + 2k₁ · π
x  =  ——————
                 4       

Colocando π em evidência no numerador, obtemos

         (1 + 2k₁) · π
x  =  ——————            com k₁ ∈ Z          (iii)
                 4       

As soluções para (ii) são múltiplos ímpares de π/4.

—————

•  cos(4x) = 0          (iv)

Procedendo de forma análoga, mas observando que o arco agora é  4x, devemos ter

            π
4x  =  ——  +  k₂ · π
            2

Dividindo os dois lados por 4,

          π          k₂ · π
x  =  ——  +  ————
          8             4

Reduzindo as frações ao mesmo denominador 8, obtemos:

          π          2k₂ · π
x  =  ——  +  ————
          8              8

         π + 2k₂ · π
x  =  ——————            com k₂ ∈ Z          (v)
                8

Colocando π em evidência no numerador, obtemos

          (1 + 2k₂) · π
x  =  ———————            com k₂ ∈ Z          (v)
                 8

As soluções para (iv) são os múltiplos ímpares de π/8.

—————

Sendo assim, o conjunto solução para a equação dada inicialmente é a união das soluções de  (ii)  e  (iv):

S = {x ∈ R:   x = (2k₁ + 1) · π/4   ou   x = (2k₂ + 1) · π/8,   com  k₁, k₂ ∈ Z}.


Bons estudos! :-)


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