Question

Olá gente, boa noite. Por favor, me ajudem a resolver uma questão de matemática? Darei 10 pontos, e agradecerei muito.

1) A partir dos ângulos notáveis, calcule:

a)sen15°
b)cos15º
c)sen255º
d)tg75º

Answer 1

Boa noite!
Arco-metade pode ser obtido pela seguinte relação:
$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$
Para cosseno fica, usando a relação $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$:
$\cos(2x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))\\ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1\\ \cos(x)=\sqrt{\frac{1+\cos(2x)}{2}}$

Para o seno:
$\sin(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}$

a)
$\sin(15)=\sqrt{\frac{1-\cos(30)}{2}}\\ \sin(15)=\frac{\sqrt{2-\sqrt(3)}}{2}$

b)
$\cos(15)=\sqrt{\frac{1+\cos(30)}{2}}\\ \cos(15)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

c)
$\sin(255)=\sin(270-15)\\ \sin(270-15)=\sin(270)\cos(15)-\sin(15)\cos(270)\\ \sin(255)=-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

d)
Vamos calcular aqui, primeiramente, o valor de tan(15):
$\tan(15)=\frac{\sin(30)}{1+\cos(30)}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \tan(15)=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

$\tan(75)=\tan(60+15)\\ \tan(75)=\frac{\tan(60)+\tan(15)}{1-\tan(60)\tan(15)}\\ \tan(75)=\frac{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}\\ \tan(75)=\frac{2}{4-2\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

Espero ter ajudado!