Question

Olá colegas , por favor me ajude a entender este calculo
calcule a derivada primeira [y´= F(x)] da seguinte funçãoF(x) = raiz quarta de 8x^4+7x

Answer 1

$\displaystyle f(x)=\sqrt[4]{8x^4+7x}$
percebe que é uma função composta??
$\displaystyle (f\circ u)(x)=f(u(x))=\sqrt[4]{u}\\\\onde~u(x)=8x^4+7x$
aplicamos então a regra da cadeia:
$\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\implies (f\circ u)'(x)=f'(u)\cdot u'(x)$
Derivada da primeira em relação a u:
tendo que $\displaystyle f(u)=\sqrt[4]{u}=u^{\frac{1}{4}}$
df/du ficará: $\displaystyle \frac{d}{du}u^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}u^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}u^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{u^3}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{u^3}}$
e du/dx:
$\displaystyle \frac{d}{dx}8x^4+7x=4\cdot8x^3+7=32x^3+7$

lembra? falei lá em cima da regra da cadeia, podemos aplicá-la agora que temos as derivadas das duas funções compostas:
$\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}\implies \frac{d}{dx}\sqrt[4]{8x^4+7x}=\frac{d}{du}\sqrt[4]{u}\cdot\frac{d}{dx}8x^4+7x=\\\\\frac{1}{4\sqrt[4]{u}}\cdot32x+7=\frac{32x^3+7}{4\sqrt[4]{u}}\implies u=8x^4+7x\implies\\\\ \boxed{\frac{df}{dx}=\frac{32x^3+7}{4\sqrt[4]{8x^4+7x}}}$
:D espero ter ajudado