Question

Olá,


alguém poderia me ajudar com o cálculo abaixo:


$\lim_{x \to \1} \frac{x^{1/3}-1}{\sqrt{x} -1}$

O limite tende a 1


Obrigada!

Answer 1

Resposta:

2/3

Explicação passo-a-passo:

Como sabemos quando substituímos x por 1 da forma indeterminada, então devemos resolver um jeito de sair da indeterminação, vou resolver por L'Hopital, para resolvermos assim devemos derivar a função tanto em cima quanto em baixo.

lim (x > 1) (x^(1/3) - 1)/(x^(1/2) - 1)

Derivando em cima:

a = x^(1/3) - 1  

a' = 1/3 . x^(-2/3)

b = x^(1/2) - 1

b' = 1/2 . x^(-1/2)

Por ter dado forma indeterminada temos que: lim a/b = lim a'/b', logo:

lim (x > 1) (x^(1/3) - 1)/(x^(1/2) - 1) = lim (x > 1) (1/3 . x^(-2/3)/(1/2 . x^(-1/2)

Resolvendo:

lim (x > 1) (1/3 . x^(-2/3)/(1/2 . x^(-1/2) =

(1/3 . 1^(-2/3))/(1/2 . 1^(-1/2) =

(1/3)/(1/2) =

(1/3) . (2/1) =

2/3

Bons estudos