Oito times de futebol participaram de um campeonato. Cada time jogou exatamente uma vez contra os outros times. Em cada partida, o vencedor ganhou 3 pontos e o perdedor nada obteve. Em caso de empate, cada time ganhou 1 ponto. Ao final do campeonato, a soma de todos os pontos obtidos pelos times foi 61. Qual é o maior número possível de pontos que o campeão pode ter conquistado?
(A) 21 (B) 19 (C) 18 (D) 17 (E) 16
Soluções para a tarefa
Resposta:
Supondo que o time campeão tivesse ganho todos os jogos, ele teria feito 21 pontos (7x3). Se ele ganhou todos, os outros sete times tem uma derrota, e para minimizar os pontos desses sete times, eles teriam que ter empatado todos entre si. fazendo um total de 6 pontos cada (6 empates e 1 derrota).
Assim, teríamos 21 pontos (campeão) + 6x7 (42 pontos) dos outros times.
Mas essa soma dá 63, e teria que dar 61. Como resolver isso? Retirando uma ou mais vitórias do campeão e transformando em empate.
Se retirarmos uma vitória e transformarmos em um empate, o time campeão passa a fazer 19 pontos ( 6 vitórias e 1 empate) e um dos outros recebe um ponto a mais (trocamos uma derrota por um empate para um dos outros sete times). Agora temos um caso onde o campeão tem 19 pontos, o segundo tem 7 (7 empates), e os outros seis times tem 6 pontos cada. 19 + 7 + 6x6 = 62. Quase nos 61 pontos totais. Agora é só usar a mesma lógica. Retiro mais uma vitória do primeiro colocado e transformo em empate ( agora ele tem 5 vitórias e 2 empates, 17 pontos). O segundo colocado permanece com 7 empates, e escolhemos um dos outros seis times que sobraram, para trocar uma derrota por empate, passando assim a ter 7 empates, como o segundo colocado.
Agora temos o primeiro com 5V 2E 0D, o segundo e terceiro com 0V 7E 0D e os outros cinco times que sobraram com 0V 6E 1D.
Somando, temos 17 + 7 + 7 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 61 pontos.
Portanto o máximo de pontos do primeiro colocado seria 17.
Explicação passo a passo:
Analisando o sistema de equações lineares associado ao problema, concluímos que, o máximo de pontos que o time campeão pode ter obtido é 17, alternativa d.
Sistema de equações lineares
Como cada time jogou uma única vez com cada time adversário, temos que, a quantidade de jogos do campeonato foi igual a:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28
Denotando por x a quantidade de jogos onde houve um vencedor e por y a quantidade de jogos onde o resultado foi o empate, temos que:
x + y = 28
Como a soma de todos os pontos obtidos por todos os times é igual a 61, e como os pontos obtidos na vitória é igual a 3 e no empate é 2, pois cada time ganha 1 ponto, temos que:
3x + 2y = 61
Obtemos dessa forma um sistema de equações lineares:
x + y = 28
3x + 2y = 61
x = 5
y = 23
O campeão pode ter vencido no máximo 5 jogos e empatado 2, pois jogou 7 vezes. Logo, a pontuação máxima do time campeão é:
3*5 + 2*1 = 15 + 2 = 17
Para mais informações sobre sistema de equações lineares, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/46903584
#SPJ2
