Question

Oito atletas disputaram uma prova de 100m
em que não há empates e nem desistências. Apenas os três primeiros colocados recebem medalhas. A probabilidade de que Lind fique melhor colocado que Bolt e que ambos recebam medalhas é?
resp: 3/56

Answer 1

Considere as iniciais dos atletas: L, B, X, Y, Z, W, Q, P

Onde L: Lind e B: Bolt
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O total de grupos formado para os vencedores de medalhas (grupos de 3) será um arranjo (já que a ordem importa) de 8 elementos tomados 3 a 3:

$C_{p}=A_{8,3}=\dfrac{8!}{(8-3)!}=\dfrac{8!}{5!}=8\cdot7\cdot6$
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Os casos favoráveis poderão ser:

_ _ _

Lind em primeiro e Bolt em segundo: 1 .1 . 6 = 6
Lind em primeiro e Bolt em terceiro: 1 . 6 . 1 = 6
Lind em segundo e Bolt em terceiro: 6 . 1 . 1 = 6

Como ocorrerá um OU outro OU outro, s"OU"mamos as possibilidades:

$C_{f}=6+6+6=3\cdot6$
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A probabilidade disso acontecer será:

$P=\dfrac{C_{f}}{C_{p}}\\\\\\P=\dfrac{3\cdot6}{8\cdot7\cdot6}\\\\\\P=\dfrac{3}{8\cdot7}\\\\\\\boxed{\boxed{P=\dfrac{3}{56}}}$

Answer 2

Vamos determinar quantos são os casos possíveis.

Observe que, a ordem em que os atletas são premiados é importante.

Lembre-se que, o número de permutações de $n$ pessoas é $n!$.

Assim, há $8!$ casos possíveis. Agora os casos favoráveis.

Como Lind deve ficar na frente de Bolt e ambos devem ganhar medalha, Lind pode terminar em primeiro ou segundo.

Se Lind terminar em primeiro, temos duas possibilidades para a colocação de Bolt (ou segundo ou terceiro) e os 6 atletas restantes se permutam de $6!$ modos.

Se Lind for o segundo colocado, Bolt é o terceiro e os demais podem se permutar de $6!$ maneiras.

O número de casos favoráveis é $2\cdot6!+6!$, ou seja, $3\cdot6!$.

Logo, a probabilidade procurada é $P=\dfrac{3\cdot6!}{8!}=\dfrac{3\cdot6!}{8\cdot7\cdot6!}=\dfrac{3}{56}$.