Question

Oi gnt, tudo bem, boa tarde.

Pergunta importante:

A volume $V$ de um cilíndro de altura $h$ e raio de base $r$ é $V=\pi h r^2$. Até aí, tudo bem.

Se pararmos pra analisar, isto nada mais é que o produto entre a área da base e a altura do cilindro.

Agora vamos supor que eu tenha a área lateral $\displaystyle A_L$ do mesmo cilindro. Então, $f(x, y) = h$ e $\displaystyle C(t)=\left \{ {{x=r\cos t} \atop {y=r\sin t}} \right., \,\,\, 0 \le t \le 2\pi.$ Assim,

$\displaystyle A_L= \oint_{C} f \, ds \\\\ = \oint_{0}^{2\pi}h\sqrt{\left (r\frac{d}{dt}\cos t \right )^{2}+\left (r\frac{d}{dt}\sin t \right )^{2}} \, dt \\\\ = h\oint_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2}(\cos^2 t + \sin^2 t)} \, dt \\\\ = hr\oint_{0}^{2\pi} \, dt \\\\ =hr [t]_{0}^{2\pi} \\\\ = 2\pi hr.$

Eu sei que existem jeitos mais fáceis e intuitivos de calcular essa área mas eu fiz assim.

A minha dúvida é, por que agora eu tenho que multiplicar essa área lateral por $\displaystyle \frac{r}{2}$ pra ter o volume do cilindro? Qual o sentido de multiplicar pela metade do raio?

Desde já obg.

Answer 1

Resposta:

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* me corrija, por favor!

Explicação passo-a-passo:

Apenas uma hipótese, sem muita análise técnica, ok!

Se você pegar uma chapa com espessura 10 mm e quiser calandrar a mesma, formando um tubo (cilindro) de diâmetro externo 600 mm.

O diâmetro de dobra será a linha imaginária formada com metade da espessura. Ou seja, o diâmetro primitivo, será:

DP = DE - 2.E/2 = 600 - 10 = 590 mm.

Quanto a sua pergunta, não teria o mesmo conceito?

o diâmetro primitivo ou o raio primitivo, está na metade do centro do cilindro e o raio externo, logo:

Raio Primitivo = (Raio - Origem)/2 = (r - 0)/2 = r/2

No cálculo integral, um cilindro poderia ser visto como um sólido de revolução, onde o raio de revolução seja a linha primitiva imaginária (r/2)

OBS: HIPÓTESE