Question

Obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados :
A ( 1, 2, 1 ) e a reta interseção do plano x - 2 y + z - 3 = 0 com plano yOz.

Answer 1

Podemos encontrar uma infinidade de equações de retas interseção dos dois planos, apenas fazendo um sistema linear e tentando encontrar dois pontos comuns a esses planos, ou seja, pontos que pertencem aos dois planos ao mesmo tempo. Mas seguiremos a seguinte estratégia para encontrar uma equação de uma reta interseção dos dois planos, lembrando que a equação do plano y0z é x = 0.

Segue o sistema que diz que a reta r é a interseção dos planos π1 e π2, agora vamos resolvê-lo.

$r: \displaystyle \left \{ {{x-2y+z=3} \atop {x=0}} \right. \\ \\ \\ \boxed{x=0} \\ \\ --------- \\ \\ x-2y+z=3 \\ \\ -2y+z=3$

Poderíamos fazer x = λ, y = λ ou z = λ. No caso vamos escolher y = λ.

$-2y+z=3 \\ \\ -2\lambda+z=3 \\ \\ \boxed{z=3+2\lambda}$

A partir das contas, já sabemos o valor de x e de z, agora vamos para a etapa final:

$x-2y+z=3 \\ \\ -2y+3+2\lambda=3 \\ \\ -2y=-2\lambda \\ \\ \boxed{y=\lambda}$

A equação paramétrica de uma das infinitas retas interseção dos dois planos é:

$r:\displaystyle \left \{ {{x=0} \atop {y=\lambda}} \atop{z=3+2\lambda} \right.$

E sua equação vetorial é:

$x=(0,0,3)+\lambda(0,1,2)$

Se o plano contém o ponto A, sendo que também contém a reta interseção dos dois planos, então temos que encontrar mais dois pontos, B e C, pertencentes à reta, para podermos montar a equação geral do plano com esses pontos A, B e C. Para encontrarmos dois pontos pertencentes à reta, basta atribuírmos qualquer valor para λ. Fazendo isso temos os pontos:

A = (1,2,1)
B = (0,1,5)
C = (0,2,7)

Lembrando que para a equação do plano, temos que ter os vetores u e v, sendo que u = AB e v = AC, e com isso, os vetores do plano, são:

u = (-1,-1,4)
v = (-1,0,6)

Colocando o ponto A e os vetores u e v na matriz, obtemos o seguinte resultado como equação geral do plano:

$\left[\begin{array}{ccc}x-1&y-2&z-1\\-1&-1&4\\-1&0&6\end{array}\right] \\ \\ \\ \boxed{-6x+2y-z=-3}$

Lembrando que assim como podemos encontrar diversas equações de retas interseção de dois planos, existem também infinitas equações de planos que poderíamos encontrar, que também contém o ponto A e as retas interseção dos planos.