Question

Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2,-3, 1) e B(-2,1,-1).?

Answer 1

Fórmula para distância entre dois pontos no Espaço $R^{3}$: 

$d_{A,B} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}$

O ponto que buscamos está no eixo das abscissas, isto é, o valor de y e z deste ponto é nulo. Chamemos este ponto de P(x, 0, 0).

O fato deste ponto ser equidistante de A e B, isto implica dizer que $d_{A,P} = d_{B,P}$

Calculemos $d_{A,P}$
$d_{A,P}= \sqrt{(2- x_{P} )^{2}+(-3- 0)^{2}+(1-0)^{2}} \\ d_{A,P}= \sqrt{4-4x_{P}+x_{P}^{2}+9+1} \\ d_{A,P}= \sqrt{x_{P}^{2}-4x_{P}+14}$

Agora calculemos $d_{B,P}$
$d_{B,P}= \sqrt{(-2- x_{P} )^{2}+(1- 0)^{2}+(-1-0)^{2}} \\ d_{B,P}= \sqrt{4+4x_{P}+x_{P}^{2}+1+1} \\ d_{B,P}= \sqrt{x_{P}^{2}+4x_{P}+6}$

Fazendo a igualdade podemos "cancelar" uma raiz com a outra, que resulta:
$\sqrt{x_{P}^{2}-4x_{P}+14}= \sqrt{x_{P}^{2}+4x_{P}+6} \\ x_{P}^{2}-4x_{P}+14= x_{P}^{2}+4x_{P}+6\\ +14-6= +4x_{P}+4x_{P}\\ +8= +8x_{P}\\ x_{P}=1$

ASSIM, O PONTO PROCURADO É P(1, 0, 0)