Question

Obter a equação reduzida da elipse de centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos (0, √3) e (√3, 3/2)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{3}=1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em cônicas.

Sabemos que a equação reduzida de uma elipse com centro em $(x_c,~y_c)$ e semieixo maior $a$ e semieixo menor $b$, tal que seu eixo maior está na horizontal é:

$\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$

Neste caso, nos foi dito que o centro está na origem, logo $x_c=0$ e $y_c=0$. Substituindo estes valores, temos:

$\dfrac{(x-0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-0)^2}{b^2}=1\\\\\\\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

Sabendo que a elipse passa pelos pontos $(0,~\sqrt3)$ e $\left(\sqrt{3},~\dfrac{3}{2}\right)$, podemos encontrar as medidas dos semieixos.

Veja que neste caso, teremos a medida de $b$, pois o ponto $(0,~\sqrt{3})$ tem o mesmo ponto de abcissa que seu centro, logo $b=\sqrt{3}$.

Para encontrarmos a medida do semieixo $a$, substituímos as coordenadas do ponto $\left(\sqrt{3},~\dfrac{3}{2}\right)$ na equação reduzida:

$\dfrac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{(\sqrt{3})^2}=1$

Calcule as potências

$\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{9}{4}\right)}{3}=1$

Calcule a fração de frações

$\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{\not{9}}{4\cdot\not{3}}=1\\\\\\ \dfrac{3}{a^2}+\dfrac{3}{4}=1$

Some as frações

$\dfrac{3\cdot 4+3\cdot a^2}{4\cdot a^2}=1\\\\\\ \dfrac{12+3a^2}{4a^2}=1$

Multiplique ambos os lados da equação por $4a^2$

$12+3a^2=4a^2$

Isole $a^2$

$4a^2-3a^2=12\\\\\\ a^2=12$

Retire a raiz quadrada, assumindo a solução positiva (pois se trata de uma figura geométrica)

$a=\sqrt{12}$

Sabendo que $12=2^2\cdot 3$, temos

$a=2\sqrt{3}$

Substituindo os valores que encontramos na equação reduzida, temos

$\dfrac{x^2}{(2\sqrt{3})^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1$

Calcule as potências

$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{3}=1$

Esta é a equação reduzida desta parábola

Answer 2

Resposta:

Isso não me ajudou, qual dessas é correta?

Explicação passo a passo:

a) x²/6 + y²/5

b) x²/6 + y²/6

c) x²/5 + y²/5

d) x²/5 + y²/6

e) x²/4 + y²/4