Matemática, perguntado por cortezandre01, 11 meses atrás

determine o trigésimo do quinto termo da PA ,(-2,2,6...)

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-2, 2, 6,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente é o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 4 unidades. Se um comportamento deste tipo acontece, tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -2 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)trigésimo quinto termo (a₃₅): ?

e)número de termos (n): 35

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 35ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do trigésimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 2 - (-2) ⇒

r = 2 + 2 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o trigésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₅ = -2 + (35 - 1) . (4) ⇒

a₃₅ = -2 + (34) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₃₅ = -2 + 136 ⇒

a₃₅ = 134

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 35º termo da P.A. (-2, 2, 6...) é 134.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₅ = 134 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

134 = a₁ + (35 - 1) . (4) ⇒

134 = a₁ + (34) . (4) ⇒

134 = a₁ + 136 ⇒

134 - 136 = a₁ ⇒

-2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -2 (Provado que a₃₅ = 134.)

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