Question

Obtenha uma equação vetorial da reta S que contém P e é perpendicular a R: a) P = (2,6,1), r: X=(-3,0,0) + a(1,1,3)?

Answer 1

Observe a figura em anexo.


Temos as seguintes informações:

$O=(-3,\;0,\;0)$ é um ponto da reta $r,$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\;1,\;3)$ é um vetor diretor da reta $r,$

$P=(2,\;6,\;1)$ é um ponto do espaço $\mathbb{R}^{3}.$


Dados os dois pontos acima, podemos obter o vetor $\overrightarrow{\mathbf{OP}}:$

$\overrightarrow{\mathbf{OP}}=P-O\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{OP}}=(2,\;6,\;1)-(-3,\;0,\;0)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{OP}}=(5,\;6,\;1)\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Por soma de vetores, sabemos que

$\overrightarrow{\mathbf{OQ}}+\overrightarrow{\mathbf{QP}}=\overrightarrow{\mathbf{OP}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Por outro lado, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{OQ}}$ é a projeção ortogonal do vetor $\overrightarrow{\mathbf{OP}}$ na direção do vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ (que é o vetor diretor da reta $r:$

$\overrightarrow{\mathbf{OQ}}=\mathrm{proj}_{\overrightarrow{\mathbf{v}}\,}{\overrightarrow{\mathbf{OP}}}$


Na igualdade acima, reescrevendo a projeção ortogonal em termos de produto escalar, temos

$\overrightarrow{\mathbf{OQ}}=\left(\overrightarrow{\mathbf{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}} \right )\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|^{2}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$
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$\bullet\;\;$ Calculando o produto escalar de $\overrightarrow{\mathbf{OP}}$ por $\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$\overrightarrow{\mathbf{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ =(5,\;6,\;1)\cdot (1,\;1,\;3)\\ \\ =5\cdot 1+6\cdot 1+1\cdot 3\\ \\ =5+6+3\\ \\ =14\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ Calculando o módulo do vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|= \|(1,\;1,\;3)\|\\ \\ =\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}\\ \\ =\sqrt{1+1+9}\\ \\ =\sqrt{11}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(v)}$
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$\bullet\;\;$ Substituindo os valores encontrados acima na equação $\mathbf{(iii)},$ encontramos o vetor $\overrightarrow{\mathbf{OQ}}:$

$\overrightarrow{\mathbf{OQ}}=14\cdot \dfrac{(1,\;1,\;3)}{(\sqrt{11})^{2}}\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{OQ}}=\dfrac{14}{11}\cdot (1,\;1,\;3)$


$\bullet\;\;$ Substituindo na equação $\mathbf{(ii)}$ o que foi encontrado acima, obtemos as coordenadas do vetor $\overrightarrow{\mathbf{QP}}:$

$\dfrac{14}{11}\cdot (1,\;1,\;3)+\overrightarrow{\mathbf{QP}}=(5,\;6,\;1)\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{QP}}=(5,\;6,\;1)-\dfrac{14}{11}\cdot (1,\;1,\;3)$


Multiplicando os dois lados da equação por $11,$ obtemos

$11\cdot \overrightarrow{\mathbf{QP}}=11\cdot (5,\;6,\;1)-14\cdot (1,\;1,\;3)\\ \\ 11\cdot \overrightarrow{\mathbf{QP}}=(55,\;66,\;11)-(14,\;14,\;42)\\ \\ 11\cdot \overrightarrow{\mathbf{QP}}=(41,\;52,\;-31)$
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$\bullet\;\;$ Tomemos o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}=11\cdot \overrightarrow{\mathbf{QP}}=(41,\;52,\;-31).$ Como $\overrightarrow{\mathbf{w}}\parallel \overrightarrow{\mathbf{QP}},$ podemos utililzá-lo como vetor diretor da reta $s$ procurada.


$\bullet\;\;$ Uma equação vetorial para a reta $s$ é

$s:\;X=P+\lambda \overrightarrow{\mathbf{w}}\\ \\ s:\;X=(2,\;6,\;1)+\lambda\,(41,\;52,\;-31)\,,\;\;\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}$