Question

Obtenha uma equação geral da reta s paralela à reta r na figura abaixo.

Answer 1

Trata-se de uma questão de Geometria Analítica. Antes de iniciar a resolução, vamos rever alguns conceitos.

Quais são os tipos de equações da reta?

Uma reta é uma figura geométrica não-orientada com direção fixa que não possui extremos, ou seja, é infinita. Existem diversas formas de se representar uma reta, seja ela no plano ou no espaço. Destaca-se:

1. Equação vetorial da reta.
2. Equação paramétrica da reta.
3. Equação simétrica da reta.
4. Equação reduzida da reta.
5. Equação geral da reta.

A escolha da equação irá depender do problema. Apesar disso, lembre-se de que todas as maneiras têm capacidade de se referir a mesma reta, uma vez elas que só se distinguem pela escrita matemática e pelo contexto em que são aplicadas.

Como encontrar as equações da reta?

Observe o raciocínio para deduzir alguma das equações da reta:

• Equação vetorial da reta

Considere um ponto qualquer do espaço A = (x₁,y₁,z₁). Seja a reta r que passa por A e tem direção do vetor v = (a,b,c), então existe um ponto P =(x,y,z) pertencente à reta r que forma um vetor AP paralelo ao vetor v. Como são paralelos, então os vetores são múltiplos por um fator t. Dessa maneira, a equação vetorial da reta para o IR³, será:

$\overrightarrow{A P}~//~\vec v}\\\\\overrightarrow{A P} = v.t \\\\ P - A = v.t \\\\ (x,y,z) - (x_1,y_1,z_1) = (a,b,c).t \\\\ \boxed{(x,y,z) = (x_1,y_1,z_1) + (a,b,c).t}$

De forma análoga para o IR²:

$\boxed{(x,y) = (x_1,y_1) + (a,b).t}$

O vetor v é chamado de vetor diretor da reta e o fator t de parâmetro.

• Equação paramétrica da reta

Na verdade, esse tipo de equação da reta é um sistema de equações. É bem simples obtê-lo: basta desmembrar a equação vetorial da reta. Observe como chegar às equações paramétricas da reta.

$(x,y,z) = (x_1,y_1,z_1) + (a,b,c).t\\\\(x,y,z) = (x_1,y_1,z_1) + (a.t,b.t,c.t)\\\\(x,y,z) = (x_1+a.t,y_1+b.t,z_1+c.t)\\\\\boxed{\begin{cases}x = x_1 + a.t\\y = y_1 + b.t\\z = z_1 + c.t\end{cases}}$

Para o IR², basta utilizar as duas primeiras equações que envolvem x e y.

• Equação simétrica da reta

Para chegar nessa equação, partiremos das equações paramétricas.

$\begin{cases}x = x_1 + a.t\\y = y_1 + b.t\\z = z_1 + c.t\end{cases}\\\\\\ x - x_1 = a.t~\therefore~t = \frac{x - x_1}{a}\\\\y - y_1 = b.t~\therefore~t = \frac{y - y_1}{b}\\\\z - z_1 = c.t~\therefore~t = \frac{z - z_1}{c}\\\\\\\boxed{\dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{y - y_1}{b} = \dfrac{z - z_1}{c}} = t$

Então, com a, b e c ≠ 0, obtivemos a equação simétrica da reta. No IR², utilize apenas as duas primeiras igualdades e iguale as a t.

• Equação reduzida da reta

Considerando as equações simétricas, temos duas igualdades:

$\dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{y - y_1}{b}~\therefore~ y = (\frac{b}{a})x + (y_1- \frac{b.x_1}{a}) \Rightarrow y = mx + n\\\\\dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{z -z_1}{c}~\therefore~ z = (\frac{c}{a})x + (z_1- \frac{c.x_1}{a}) \Rightarrow z = px + q\\\\\boxed{\begin{cases}y = mx+n\\ z = px+q\end{cases}}$

Eis as equações reduzidas da reta no IR³ (para o IR² considere apenas a equação y = mx + n).

• Equação geral da reta

Partindo-se da equação reduzida da reta e isolando os termos no primeiro membro:

$\begin{cases}y = mx + n\\ z = px +q\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases} y - mx - n = 0 \\ z - px - q = 0\end{cases}}\\\\\\\mathsf{Onde:~m = \dfrac{b}{a},~n = y_1-\dfrac{b.x_1}{a},~p = \dfrac{c}{a},~q = z_1-\dfrac{c.x_1}{a}}$

Lembrete: vetor diretor = (a,b,c), ponto qualquer da reta = (x₁,y₁,z₁)

Observe que se a equação for do IR² só utilizaremos a primeira equação.

Como resolver a questão?

A questão exige a equação geral da reta s. Para encontrá-la, precisaremos dos:

1. Vetor diretor da reta s.
2. Ponto qualquer da reta s.

Como se trata de uma equação no plano IR², então utilizaremos apenas:

$\boxed{y - mx - n = 0}$

O ponto já temos, ele é A = (1,2). Quanto ao vetor diretor, ele poderá ser igual ao vetor diretor de r, pois a reta r é paralela à reta s. Nesse sentido, como temos os pontos de r B = (-6,0) e C = (0,3), o vetor diretor BC será:

$\overrightarrow{BC} = C - B = (0,3) - (-6,0) = \boxed{(6,3)}$

Resumidamente, os dados que obtivemos até agora são:

=> x₁ = 1, y₁ = 2, a = 6, b = 3

Logo, substituindo na fórmula:

$y - mx - n = 0\\\\y - \frac{b}{a}.x - (y_1-\frac{b.x_1}{a}) = 0\\\\y - \frac{3}{6}.x - (2-\frac{3.1}{6}) = 0\\\\\boxed{y - \tfrac{1}{2}.x -\tfrac{3}{2} = 0}}$

Qual é a resposta?

A equação geral da reta s paralela à reta r na figura da questão é:

$\Large{\boxed{\boxed{\mathsf{y - \tfrac{1}{2}.x -\tfrac{3}{2} = 0}}}}}$

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