Question

Obtenha o domínio e a imagem da seguinte função:
y = - x^2 + 4x

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\textrm{Dom}(f) = \mathbb{R}\textrm{ e }f(\mathbb{R}) =]-\infty, 4]}.$

Explicação passo-a-passo:

Uma vez que a função é polinomial, o seu domínio é simplesmente $\mathbb{R}$.

Para determinar a imagem, completamos o quadrado:

$-x^2 + 4x = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 2^2 - 2^2) = -((x-2)^2 - 4) = 4 - (x-2)^2.$

Uma vez que o quadrado de um número real é sempre não-negativo, vem:

$(x-2)^2 \geq 0 \implies -(x-2)^2 \leq 0 \implies 4-(x-2)^2 \leq 4$

Assim, a imagem da função corresponde aos valores reais menores ou iguais do que 4, ou seja:

$f(\mathbb{R}) = ]-\infty, 4].$