Question

obtenha f(x) sabendo que o grafico é uma parabola que passa pelos pontos (0,-2) , (-1,0) e (1,-2). determine tambem o conjunto imagem.

Answer 1

Sabemos que uma parábola é função do segundo grau que é do tipo f(x)=ax²+bx+c

Usando esses três pontos podemos encontrar essa função:

(0,-2)---> Para x=0 temos y=-2

-2=a.(0)²+b.(0)+c
c= -2 conseguimos descobrir "c"

(-1,0)---> Para x=-1 temos y=0 OBS: como já encontramos c usaremos ele.

0=a.(-1)²+b.(-1)-2
a-b-2=0
a-b=2 (I) guardaremos essa equação

(1,-2)---> Para x=1 temos y=-2

-2=a.(1)+b(1)-2
a+b=0 (II) guardaremos mais essa equação

Agora iremos somar as duas equações encontradas (I)+(II)

a-b=2
a+b=0

2a=2
a=1----> se a=1, basta substituir em qualquer das duas equações acima para encontrar b e verá que b=-1

Portanto a equação será f(x)=x²-x-2, uma parábola com concavidade voltada para cima pois a>0

Para saber sua imagem basta ter noção de que ela vai de um ponto na reta y até o +∞, pois a parábola cresce até o infinito. Para isso bastamos encontrar esse ponto que será o Yv( y do vértice). 

Yv=-Δ/4a----> Δ=b²-4.a.c ----> Δ=(-1)²-4.1.(-2)---->Δ=9
Yv=-9/4

Portanto a imagem da função tem seu intervalo como sendo [-9/4,+∞[

Answer 2

Olá amigo! vou ajudar!

A imagem de uma função são os números que são diretamente encontrados a partir de x, sendo assim a imagem e f(x)=y

Temos que os pontos encontrados foram (0,-2) (-1,0) (1,-2)..

Sabendo que (0,-2) e (-1,0) e igual as coordenadas do zero da função quadrática:

Vamos buscar o valor da equação quadrática que faz esse gráfico:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Vamos utilizar (0,-2) lembrando quê (x,y)


$-2=a(0)^2+b(0)+c$

$-2=c$

Então c = -2

Sendo os zeros da função -2 e -1 temos que

x1.x2=$\frac{c}{a}$

então:$\frac{c}{a} =2$

é x1+x2=$\frac{-b}{a}$

Então
$\frac{-b}{a}=-3$

Como já temos o "c" então vamos usar:

$\frac{c}{a} =2$

$\frac{-2}{a} =2$

$-2=2a$

$a=-1$

Sendo a = -1 vamos buscar o b

$\frac{-b}{a}=(-2)+(-1)$

$\frac{-b}{-1}=-3$

b=-3

Então a função é:

$f(x)=-x^2-3x-2$

Como "a" e menor que 0 então a concavidade e para baixo;

Então vamos buscar o y do vértice:

$Yv= \frac{-Delta}{4a}$

Primeiro encontrar o valor de Delta:

Δ=(-3)^2-4.(-1).(-2)
Δ=9-8
Δ=1

Então:

$Yv= \frac{-1}{4(-1)}$


$Yv= \frac{1}{4}$

Então a imagem é:

[$\frac{1}{4}$,∞[