Question

Obtenha dois números reais cuja soma é 13 e cujo produto é máximo.

Answer 1

Trata-se de um problema de otimização envolvendo máximos ou mínimos.
Sejam tais números x,y.Logo,temos que:

x+y=13 => x=13-y

Queremos saber o valor máximo para :

xy

Substituindo x:

(13-y)y = -y²+13y

Considere f:R-->R função tal que:

f(y) = -y²+13y

Assim:

f'(y) = -2y+13

Vamos fazer o estudo do sinal de f'(y):

f'(y) = 0 para y = 13/2
f'(y) > 0 para y < 13/2
f'(y) < 0 para y > 13/2

Isso indica que 13/2 é ponto de máximo local de f'(y) e f(13/2)=169/4 é valor de máximo local.

Logo,vale que:

-y²+13y=169/4 => -4y²+52y-169=0

Δ=2704-2704=0

Isso indica que temos duas raízes iguais y' e y":

y'=y"= (-52)/(-8) = 13/2

Descobrindo x:

x=13-y => x=13-(13/2) = 13/2

Resposta: os números são 13/2 e 13/2.