Question

Obtenha as equações das retas paralelas à reta t de equação 3x + 4y + 1 = 0 e tangentes à circunferência y de equação (x + 1 )² + ( y - 1 )² = 9 .

Answer 1

C(-1, 1) e r = √9 => r = 3
Se as retas são paralelas a t: 3x + 4y + 1= 0 
Então as retas r e s paralelas a t são da forma 3x + 4y + c = 0, pois têm o mesmo coeficiente angular.
Sendo o raio 3 igual a distância do centro até às retas tangentes, vamos calcular a distância do centro até as retas:

$d = \frac{|3x+4y+c|}{ \sqrt{a^2+b^2}} \\ \\ 3= \frac{|3(-1)+4.1+c|}{ \sqrt{3^2+4^2} } \\ \\ 3= \frac{|1+c|}{5} \\ |1+ c| = 15 \\ 1+c=15 \\ c=14 ou \\ 1+c=-15 \\ c=-16$

Logo as retas são: r: 3x+4y+14=0  e  s: 3x+4y-16=0

Answer 2

As retas paralelas à reta t tangentes à circunferência tem equações 3x + 4y - 16 = 0 e 3x + 4y + 14 = 0.

Distância entre ponto e reta

A distância entre ponto e reta pode ser calculada pela fórmula:

d(r, P) = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²)

Nesta questão, a reta t tem equação 3x + 4y + 1 = 0, então, todas as retas paralelas a ela terão os mesmo coeficientes a e b, mas diferentes coeficientes c, logo:

3x + 4y + c = 0

Da circunferência, temos centro no ponto (-1, 1) e raio 3, logo, a distância entre o centro e as retas paralelas deve ser igual a 3:

3 = |3·(-1) + 4·1 + c|/√(3² + 4²)

3 = |-3 + 4 + c|/√25

|c + 1| = 3·5

|c + 1| = 15

Da equação modular, teremos que:

c + 1 < 0 → |c + 1| = -c - 1

-c - 1 = 15

c = -16

c + 1 > 0 → |c + 1| = c + 1

c + 1 = 15

c = 14

Logo, as retas paralelas à reta t tangentes à circunferência tem equações 3x + 4y - 16 = 0 e 3x + 4y + 14 = 0.

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