Question

Obtenha a solução geral da equação diferencial y" - 3y' + 2y = e× sen x

Sabendo que:

∫eᵃu sen bu du = eᵃu / a² + b² ( a sen bu - b cos bu ) + c

Answer 1

A solução geral é: Y = [-e^(2x) + e^(x) + e^(x)[-sen(x) + cos(x)]]/2.

A equação homogênea é dada quando se iguala a equação a zero, neste caso:

y’’ - 3y’ + 2y = 0

Supondo y = e^(rx), então:

y' = r.e^(rx)

y'' = r².e^(rx)

Substituindo na equação temos:

r².e^(rx) - 3.r.e^(rx) + 2.e^(rx) = 0

Dividindo a equação por e^(rx), temos:

r² - 3r + 2 = 0

Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:

r1 = 2; r2 = 1

Então, as possíveis soluções pra y são:

y1 = e^(2x)

y2 = e^(x)

A combinação linear dessas possíveis soluções é:

Yh = A.e^(2x) + B.e^(x)

Para a solução particular vamos supor Y sendo uma função do mesmo tipo que a função depois da igualdade, nesse caso:

Yp = A.e^(x)sen(x) + B.e^(x)cos(x)

Então:

Y' = A.e^(x)sen(x) + B.e^(x)cos(x) + A.e^(x)cos(x) - B.e^(x)sen(x)

Y' = (A-B)e^(x)sen(x) + (A+B)e^(x)cos(x)

Y'' = (A-B)e^(x)sen(x) + (A+B)e^(x)cos(x) + (A-B)e^(x)cos(x) - (A+B)e^(x)sen(x)

Y'' = (2A)e^(x)sen(x) + (2A)e^(x)cos(x)

Agora substituindo na nossa equação diferencial:

(2A)e^(x)sen(x) + (2A)e^(x)cos(x) -3((A-B)e^(x)sen(x) + (A+B)e^(x)cos(x)) + 2(A.e^(x)sen(x) + B.e^(x)cos(x)) = e^(x)sen(x)

Agrupando:

e^(x)sen(x)(A+3B) + e^(x)cos(x)(-A-B) = e^(x)sen(x)

Analisando os dois lados da equação temos que:

A + 3B = 1

-A - B = 0

Resolvendo para A e B, temos A = -1/2 e B = 1/2.

A solução particular é:

Yp = [-e^(x)sen(x) + e^(x)cos(x)]/2

A solução homogênea é:

Yh = [-e^(2x) + e^(x)]/2

A solução geral é dada somando as duas soluções:

Y = -e^(2x)/2 + e^(x)/2 + e^(x)[-sen(x)/2 + cos(x)/2]