Question

Obtenha a solução geral da equação diferencial y" - 3 y' +2y = e× sen x

Answer 1

$Y=A.e^{x}+B.e^{2x}+e^{x}((-1/2)sen(x)+(1/2)cos(x))$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente temos que obter a solução homogenea para a questão:

y" - 3 y' +2y = e× sen x

No caso homogeneo:

y" - 3 y' +2y = 0

Então para resolver isso, supomos:

$Y=e^{rx}$

Então ficamos com:

r² - 3r + 2 = 0

Onde as soluções são r=1 e r=2.

Então as soluções homogeneas são:

$Yh=A.e^{x}+B.e^{2x}$

Onde A e B são constante arbitrárias.

Agora precisamos fazer a solução particular, para isso vamos supor:

$Y=e^{x}(A.sen(x)+B.cos(x))$

E precisaremos também de suas derivadas:

$Y'=e^{x}((A-B)sen(x)+(A+B)cos(x))$

$Y''=e^{x}((-2B)sen(x)+(2A)cos(x))$

Agora substituindo essas funções e derivadas na equação original:

$e^{x}((-2B)sen(x)+(2A)cos(x)) -3(e^{x}((A-B)sen(x)+(A+B)cos(x))) +2(e^{x}(A.sen(x)+B.cos(x))) = e^{x}sen(x)$

Logo de cara já podemos eliminar todas as exponencias, colocando em evidência:

$((-2B)sen(x)+(2A)cos(x)) -3(((A-B)sen(x)+(A+B)cos(x))) +2((A.sen(x)+B.cos(x))) = sen(x)$

Agora agrupando os termos em seno e cosseno:

$(B-A)sen(x)+(-B-A)cos(x) = sen(x)$

Assim comparando os dois lados, percebemos que:

B-A = 1

-B-A = 0

Então, A = -1/2 e B = 1/2. Sendo assim nossa solução particular fica:

$Yp=e^{x}((-1/2)sen(x)+(1/2)cos(x))$

Agora a solução geral é a combinação da homogenea com a particular:

$Y=A.e^{x}+B.e^{2x}+e^{x}((-1/2)sen(x)+(1/2)cos(x))$