Question

obtenha a razão da p.a em que o primeiro termo e -80 e o vigésimo é 30

Answer 1

a1 = -80
an = 30
r = ?
n = 20

an = a1 + (n - 1) r
30 = -80 + (20 - 1) r
30 = -80 + 20r - r
30 = -80 + 19r
30 + 80 = 19r
19r - 110
r = 110/19

Answer 2

(I)Interpretação do problema:

Do enunciado, tem-se que:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:-80

b)vigésimo termo (a₂₀): 30

c)número de termos (n): 20 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor da razão, apenas pela observação do primeiro e do vigésimo termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que ele será positivo, afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero (origem na reta numérica e número imediatamente antes do primeiro inteiro positivo) à sua direita e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer).

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(II)Aplicação das informações fornecidas pelo problema na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se a razão:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

30 = a₁ + (20 - 1) . (r) ⇒

30 = -80 + (19) . (r) ⇒        

30 + 80 = 19 . r  ⇒

110 = 19 . r ⇒

110/19 = r ⇔                  (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

r = 110/19                      (Fração irredutível. Logo, ela sera a resposta.)

Resposta: A razão da P.A. é 110/19.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo r = 110/19 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ela será obtido nos cálculos, confirmando-se que a razão realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

30 = a₁ + (20 - 1) . (110/19) ⇒

30 = a₁ + (19) . (110/19) ⇒   (Veja a Observação abaixo.)  

30 = a₁ + 38 ⇒  

30 - 38 = a₁ ⇒  

-8 = a₁ ⇔                           (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -8                                (Provado que r = 110/19.)

Observação: Simplificação: dividem-se o numerador 19 (em 19/1, com o denominador não necessitando ser indicado) e o denominador 19 (em 110/19) por 19.

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