Matemática, perguntado por dstefaniedeborah, 10 meses atrás

Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é -8 e o vigésimo é -30.

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Do enunciado, tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:-8

b)vigésimo termo (a₂₀): -30

c)número de termos (n): 20 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor da razão, apenas pela observação do primeiro e do sexto termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que ele será negativo, afinal, os valores dos termos sempre decrescem, afastam-se do zero (origem na reta numérica e número imediatamente antes do primeiro inteiro positivo) e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer).

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(II)Aplicação das informações fornecidas pelo problema na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se a razão:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-30 = a₁ + (20 - 1) . (r) ⇒

-30 = -8 + (19) . (r) ⇒

-30 + 8 = 19 . r ⇒

-22 = 19 . r ⇒

-22/19 = r ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

r = -22/19 (Fração irredutível. Logo, ela é a resposta.)

Resposta: A razão da P.A. é -22/19.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo r = -22/19 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ela será obtido nos cálculos, confirmando-se que a razão realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-30 = a₁ + (20 - 1) . (-22/19) ⇒

-30 = a₁ + (19) . (-22/19) ⇒ (Veja a Observação abaixo.)

-30 = a₁ - 22 ⇒

-30 + 22 = a₁ ⇒

-8 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -8 (Provado que r = -22/19.)

Observação: Simplificação: dividem-se 19 no numerador em 19/1 (o 1 não precisa ser indicado) e 19 no denominador (em -22/19) por 19.

→Veja outras tarefas relacionadas à progressão aritmética e resolvidas por mim:

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