Question

Obtenha a função derivada de f(x)=x^3 e^x

Answer 1

A primeira derivada posso fazer por definição e regra de derivação. A segunda só irei usar a regra de derivação.

$\boxed{f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}}\\\\\\ f'(x) = \lim _{\Delta x \to 0}\frac{(x_0 + \Delta x)^{3} - x_0^{3}}{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x_0^{3} + 3x_0^{2} \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3} - x_0^{3}}{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3x_0^{2} \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}}{\Delta x}$

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x [3x_0^{2} + 3x_0 \Delta x + (\Delta x)^{2}]}{\Delta x} \\\\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\left(3x_0^{2} + 3x_0 \Delta x + (\Delta x)^{2}\right) = 3x_0^{2} + 3x_0 \cdot 0 + 0^{2} = \boxed{3x_0^{2}}$

Pela regra de derivação, y = x^n ⇒ n · x^(n - 1) ∴ f(x) = x³ ⇒ f'(x) = 3x^(3 - 1) = 3x².

A derivada de e^x = e^x