Question

obtenha a expressão polinomial do 3° grau da função y = f(x) cujo gráfico contem os pontos A(-4,0),B(-2,0),C(4,0) e P(0,32)

a) Determine uma função derivada de f;

b) Determine os pontos críticos da função f , classificando-os (máximos e mínimos)

c) através da análise da função derivada f' , identifique os intervalos de X correspondente ao crescimento ou decrescimento da função f.

d) obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função f, passando pelo ponto P(0,32)

e) obtenha equação da reta normal ao gráfico da função f, passando pelo ponto P(0,32)

Answer 1

Temos uma função de 3º grau que passa pelos pontos

A(– 4, 0),  B(–2, 0),  C(4, 0),  P(0, 32).


Notamos que esta função tem três raízes, correspondentes aos pontos A, B, C:

$\mathtt{r_1=-4}\\\\ \mathtt{r_2=-2}\\\\ \mathtt{r_3=4}$


e como são raízes, temos que

$\mathtt{f(r_1)=f(r_2)=f(r_3)=0}$


Conhecidas as raízes, a lei que rege a função f é descrita por

$\mathtt{f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)}\\\\ \mathtt{f(x)=a\big(x-(-4)\big)\big(x-(-2)\big)(x-4)}\\\\ \mathtt{f(x)=a(x+4)(x+2)(x-4)}\\\\ \mathtt{f(x)=a(x+4)(x-4)(x+2)}\\\\ \mathtt{f(x)=a(x^2-16)(x+2)}\\\\ \mathtt{f(x)=a(x^3+2x^2-16x-32)}$


sendo $\mathtt{a}$ uma constante a se determinar, usando as coordenadas do ponto P:

$\mathtt{f(0)=32}\\\\ \mathtt{a(0^3+2\cdot 0^2-16\cdot 0-32)=32}\\\\ \mathtt{a\cdot (-32)=32}\\\\ \mathtt{a=-1}$


Então, f é dada por

$\mathtt{f(x)=-1\cdot(x^3+2x^2-16x-32)}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{f(x)=-x^3-2x^2+16x+32} \end{array}}$


a) Derivando,

$\mathtt{f'(x)=(-x^3-2x^2+16x+32)'}\\\\ \mathtt{f'(x)=-3x^{3-1}-2\cdot 2x^{2-1}+16+0}\\\\ \mathtt{f'(x)=-3x^2-4x+16}$


b) Os pontos críticos são aqueles que anulam o valor da derivada:

$\mathtt{f'(x)=0}\\\\ \mathtt{-3x^2-4x+16=0}~~~~\Rightarrow~~\left\{\!\begin{array}{l} \mathtt{a=-3}\\\mathtt{b=-4}\\\mathtt{c=16} \end{array} \right.$


$\mathtt{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathtt{\Delta=(-4)^2-4\cdot (-3)\cdot 16}\\\\ \mathtt{\Delta=16+12\cdot 16}\\\\ \mathtt{\Delta=(1+12)\cdot 16}\\\\ \mathtt{\Delta=13\cdot 16}\\\\ \mathtt{\Delta=13\cdot 4^2}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\mathtt{x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{13\cdot 4^2}}{2\cdot (-3)}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{4\pm 4\sqrt{13}}{2\cdot (-3)}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (2\pm 2\sqrt{13})}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (-3)}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{-2\mp 2\sqrt{13}}{3}}$


Os pontos críticos são

$\mathtt{x_1=\dfrac{-2-2\sqrt{13}}{3}~~~e~~~x_2=\dfrac{-2+2\sqrt{13}}{3}}.$


Vamos analisar o sinal da derivada:

(f' tem coeficiente quadrático negativo, logo a derivada possui concavidade para baixo)

$\begin{array}{cc} \mathtt{f'(x)}\quad&\underline{----}\underset{\mathtt{x_1}}{\bullet}\underline{++++++}\underset{\mathtt{x_2}}{\bullet}\underline{----} \end{array}$


A derivada muda de sinal quando passa pelos pontos críticos.

•  Ao passar por $\mathtt{x_1=\dfrac{-2-2\sqrt{13}}{3},}$ a derivada troca de sinal (de negativo para positivo) – logo, $\mathtt{x_1}$ é ponto de mínimo local.


•  Ao passar por $\mathtt{x_2=\dfrac{-2+2\sqrt{13}}{3},}$ a derivada troca de sinal (de positivo para negativo) – logo, $\mathtt{x_2}$ é ponto de máximo local.

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c) O crescimento/crescimento da função está relacionado ao sinal da sua derivada.

Analisando o sinal, vemos que

•   $\mathtt{f'}$ é negativa em $\mathtt{\left]-\infty,\,x_1\right[}$ e em $\mathtt{\left]x_2,\,+\infty\right[;}$

•   $\mathtt{f'}$ é positiva em $\mathtt{\left]x_1,\,x_2\right[}.$


Sendo assim,

•   $\mathtt{f}$ é decrescente em $\mathtt{\left]-\infty,\,x_1\right[}$ e em $\mathtt{\left]x_2,\,+\infty\right[;}$

•   $\mathtt{f}$ é crescente em $\mathtt{\left]x_1,\,x_2\right[}.$


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d) Equação da reta tangente:

$\mathtt{t:~y-f(x_P)=f'(x_P)(x-x_P)}$


sendo $\mathtt{x_P=0~~e~~f(x_P)=32}.$


Computando a derivada em $\mathtt{x_P=0}:$

$\mathtt{f'(0)=-3\cdot 0^2-4\cdot 0+16}\\\\ \mathtt{f'(0)=16}$


A equação da reta tangente é

$\mathtt{t:~y-32=16(x-0)}\\\\ \mathtt{t:~y-32=16x}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{t:~y=16x+32} \end{array}}$

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e) Equação da reta normal:

$\mathtt{n:~y-f(x_P)=-\,\dfrac{1}{f'(x_P)}\cdot (x-x_P)}\\\\\\ \mathtt{n:~y-32=-\,\dfrac{1}{16}\cdot (x-0)}\\\\\\ \mathtt{n:~y-32=-\,\dfrac{1}{16}x}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{n:~y=-\,\dfrac{1}{16}x+32}\end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)