Question

Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(3, 5, 9) e é ortogonal ao plano α de equação α:(x, y, z)=(1, 4, 2)+t1(5, 1, 1)+t2(2, 1, 0).

Answer 1

✅Após desenvolver todos os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações vetoriais da reta "r" que passa pelo ponto "A" e é ortogonal ao plano "α" é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

        $\Large\begin{cases} A = (3, 5, 9)\\\alpha: z = (1, 4, 2) + t_{1}(5, 1, 1) + t_{2}(2, 1, 0)\end{cases}$

Obtendo a equação vetorial da reta "r" que passa pelo ponto "A" e é ortogonal ao plano "π".

Para resolver esta questão devemos:

• Recuperar os vetores diretores do plano "α", uma vez que a equação do referido plano se encontra em sua forma vetorial.

                         $\Large\begin{cases} \vec{u} = (5, 1, 1)\\\vec{v} = (2, 1, 0)\end{cases}$

• Calcular o vetor normal ao plano "α". Para isso, devemos calcular o produto vetorial dos vetores diretores do plano. Então, fazemos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \vec{u}\wedge\vec{v}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\5 & 1 & 1\\2 & 1 & 0\end{vmatrix}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 0 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}5 & 1\\2 & 0 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} 5 & 1\\2 & 1\end{vmatrix}\vec{k}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (0 - 1)\vec{i} - (0 - 2)\vec{j} + (5 - 2)\vec{k}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-1, 2, 3)\end{gathered}$

        Portanto, o vetor normal ao plano é:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (-1, 2, 3)\end{gathered}$

• Identificar o vetor diretor da reta "r".

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:r\perp \alpha \Longrightarrow \vec{d} = \lambda\vec{n}\end{gathered}$

        Fazendo:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda = 1\end{gathered}$

        Temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{d} = \vec{n}\end{gathered}$

• Desenvolver a equação vetorial da reta "r".

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overrightarrow{AP} =t\vec{d}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} P - A = t\vec{d}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = A + t\vec{d},\:\:\:\forall t\in \mathbb{R}\:\:e\:\:\vec{d} \neq\vec{0}\end{gathered}$

     Se as coordenadas dos pontos "P" e "A", bem como as  componentes do vetor diretor "d" são, respectivamente:

                              $\Large\begin{cases} A = (3, 5, 9)\\P = (x, y, z)\\\vec{d} = (-1, 2, 3)\end{cases}$

• Montando a equação vetorial da reta.

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3)\end{gathered}$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$