Question

obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y e^X no ponto de abscissa X 0 .conclua que para valores pequenos de X , e^X pode ser aproximado por 1 + X. obtenha um valor aproximado de e^0,1 .

Answer 1

A equação da reta é: $y-y_{_0}=m(x-x_{_0})\implies y=mx-mx_{_0}+y_{_0}$
sabemos que m é o coeficiente angular da reta, o grau de inclinação. A derivada da função é o coeficiente angular da reta tangente:
$f(x)=\exp(x)\\\displaystyle m=\frac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x)=e^x$
se calcularmos Y no ponto X = 0 encontraremos:
$f(0)=\exp(0)=1$
nossa equação da reta tangente já está quase pronta:
$y=mx-mx_{_0}+y_{_0}\implies f(x)=mx-mx_{_0}+f(x_{_0})\\f(0)=1\\m=\exp(x)\\ f(x)=\exp(x).x-\exp(0).0+f(0)\implies f(x)=\exp(x).x-0+1\\f(x)=x.\exp(x)+1$
A equação da reta tangente dessa função é igual a $y=x.\exp(x)+1$
Podemos calcular o limite de f(x) com x tendendo a zero para afirmar que o valor pode ser aproximado de 1+x:
$\displaystyle \lim_{x\to0}e^x=\lim_{x\to0}\exp(x)=\exp(0)=1\\\\\lim_{x\to0}1+x=1+0=1\\\exp(0,1)=\exp(\frac{1}{10})=e^{\frac{1}{10}}=\sqrt[10]{e}\approx1,105\\\exp(0,01)=\exp(\frac{1}{100})=\sqrt[100]{e}\approx1,01\\\exp(0,001)=\exp(\frac{1}{1000})=\sqrt[1000]{e}\approx1,001\\\\1+x\ |\limits_{x=0,1}=1+0,1=1,1\\1+x\ |\limits_{x=0,01}=1+0,01=1,01\\1+x\ |\limits_{x=0,001}=1+0,001=1,001$
Percebeu que em ambas funções quando o x tende a zero assumem um valor bem semelhante?? as primeiras casas são iguais! 
$\exp(x)=e^x$
Lembrando logaritmo: $y=\ln(x)\implies e^{y}=x$ a função inversa do logaritmo é a exponencial: $f^{-1}(x)=\exp(x)=e^x$ se colocarmos logaritmo dentro da exponencial: $f^{-1}(\ln(x))=\exp(\ln(x))=e^{\ln(x)}$ pela propriedade de logaritmo:
$e^{\ln(x)}=x$ (se elevar um número pelo logaritmo com base igual a esse número, o resultado vai ser o logaritmando), provando que a exponencial é função inversa do logaritmo. [Quando colocamos uma função dentro da sua inversa, temos o valor do domínio como resultado (que nem essa que deu x)]
Quando ver exp(x) é só lembrar que é a mesma coisa que a constante de Euler elevado a x ( $e^x$ )