Question

Obtenha a equação da reta tangente à curva dada:

f(x) = sen(x), no ponto x= π/4.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Devemos determinar a equação da reta tangente à curva do gráfico da função $f(x)=\sin(x)$, no ponto $x=\dfrac{\pi}{4}$.

Primeiro, lembre-se que a equação da reta tangente à curva $\mathcal{C}$ do gráfico de uma função $f(x)$ em um ponto $(x_0,~f(x_0))$ de seu domínio $\mathcal{D}$ é dada por: $y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$.

Então, determinamos o valor da função no ponto $x=\dfrac{\pi}{4}$

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\\f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Agora, calculamos a derivada da função.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade:

$(f(x))'=(\sin(x))'$

Calcule a derivada da função seno, sabendo que $(\sin(x))'=\cos(x)$

$f'(x)=\cos(x)$

Determinamos o valor desta derivada no ponto $x=\dfrac{\pi}{4}$

$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\\f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Substituindo estes dados na equação da reta tangente, teremos:

$y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{x}{\sqrt{2}}-\dfrac{\pi}{4\sqrt{2}}$

Some os termos semelhantes

$y=\dfrac{x}{\sqrt{2}}+\dfrac{4-\pi}{4\sqrt{2}}~~\checkmark$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.