Question

obtenha a distância entre duas retas paralelas: (r) 2x+3y-6=0 e (s) 4x+6y+7=0​

Answer 1

Com base nos dados fornecidos do enunciado, a distância entre duas retas paralelas é $\textstyle \sf \text { \sf d(P, s) = \dfrac{19\: \sqrt{52} }{ 52 } }$.

Dados um ponto $\textstyle \sf \sf P(x_P, y_P)$ e uma reta r de equação $\textstyle \sf \sf ax+by +c = 0$, a distância entre P e r é dada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, r) = \dfrac{\mid ax_P +by_P + c \mid }{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf r: 2x+3y-6=0 \\ \sf s:4x+6y+7=0 \\ \sf d = \: ? \end{cases} } }$

Solução:

A distância entre duas retas paralelas é igual à distância entre um ponto P qualquer de uma delas e a outra.

Escolhendo o ponto P da reta r:

Em r: x = 0, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 0\Rightarrow y = 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{P (0, 2) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = d(P,r) = \dfrac{\mid ax_P +by_P + c \mid }{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = \dfrac{\mid 4x + 6y + 7 \mid }{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = \dfrac{\mid 4 \times 0 + 6 \times 2 + 7 \mid }{ \sqrt{4^{2} + 6^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = \dfrac{\mid 0 +1 2 + 7 \mid }{ \sqrt{16 + 36 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = \dfrac{\mid 19 \mid }{ \sqrt{52 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = \dfrac{19 }{ \sqrt{52 } } \cdot \dfrac{ \sqrt{52} }{\sqrt{52} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P, s) = \dfrac{19\: \sqrt{52} }{ \sqrt{(52)^2 } } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d(P, s) = \dfrac{19\: \sqrt{52} }{ 52 } }$

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