Question

obtenha a carga q(t) sobre um capacitor em um circuito elétrico em série rlc quando l = 1, r = 6, c = 1/9, e9t) = 0, q(0) = q0 e i(0) = 0. utilize a edo obtida pela 2ª lei de kirchoff

Answer 1

A carga no capacitor será q(t) = -q0*(1 + 9t).

A equação diferencial ordinária obtida pela segunda lei de Kirchoff em um circuito RLC em série sem fonte de alimentação é:

$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{q(t)}{C} = e(t)$

Substituindo todos os valores fornecidos no enunciado diretamente nessa fórmula, temos:

$1*\frac{di}{dt} + 6i + 9q(t) = 0\\\\q(t) = 2i/3 + \frac{di}{9dt}$

Para a primeira condição inicial q(0) = q0 e i(0) = 0 teremos:

$q_0 = 2*0/3 + di/9dt\\\\q_0 = di/9dt\\\\di = 9q_0dt\\\\\int\limits {di} = \int\limits {9q_0dt}\\\\ i(t) + C = 9q_ot + C\\\\i(t) + 9q_0t = C$

Para a segunda condição inicial i(0) = 0, temos:

$0 + 0 = C\\\\C = 0$

Logo, a nossa equação i(t) será:

$i(t) = C - 9q_ot = -9q_ot$

Sendo assim, q(t) vale:

$q(t) = 2*(-9q_ot)/3 + \frac{d}{dt}(-9q_0t/9) = -9q_ot - q_o = -q_0(1 + 9t)$

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