Question

Observe o triângulo de vértices M, N e P representado no plano cartesiano abaixo.


Qual é o perímetro, em unidades de comprimento, do triângulo MNP?
1- 210−−√u.c.
2- 22–√+6u.c.
3- 41–√0+6u.c.
4- 234−−√+6u.c.
5- 334−−√u.c.

Answer 1

Logo, o perímetro vale √34 + √34 + 6 = 2√34 + 6 (Quarta alternativa)

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Para calcular o perímetro do triângulo, precisamos primeiramente calcular a medidas dos lados do triângulo dado. Para isto, basta usar a fórmula que calcula a distância entre dois pontos dados, uma vez que, é possível observar as coordenadas dos pontos M, N e P.

A distância entre dois pontos quaisquer A(x₁, y₁ ) e B(x₂, y₂) é dada por:

d(A, B)² =  (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²

Uma vez que M = (-3, 0), N = (2, 3) e P = (2, -3), as distâncias ficam:

d(M, N)² =  (-3 - 2)² + (0 - 3)²

d(M, N)² =  (- 5)² + (-3)²

d(M, N)² =  25 + 9

d(M, N)² =  34

d(M, N) =  √34

d(M, P)² =  (-3 - 2)² + (0 - (-3))²

d(M, P)² =  (- 5)² + (3)²

d(M, P)² =  25 + 9

d(M, P)² =  34

d(M, P) =  √34

d(N, P)² =  (2 - 2)² + (3 - (-3))²

d(N, P)² =  (0)² + (6)²

d(N, P)² =  0 + 36

d(N, P)² =  36

d(N, P) =  6

Logo, o perímetro vale √34 + √34 + 6 = 2√34 + 6 (Quarta alternativa)

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Answer 2

Resposta é 2√34 + 6u.c. (quarta alternativa).

O perímetro do triângulo é de 6 + 2√34.

⟹ Teorema de Pitágoras, vai ser usado.

⟹ O perímetro do triângulo será dividido como sendo a soma entre os segmentos MN, NP, e PM.

⟹ Segmento NP: é calculado observando a distância do segmento no eixo (eixo y). Temos que ele vai de 3 até -3. Portanto, o segmento NP possui comprimento 6.

⟹ Segmento PM: é calculado observando o fato de que ele é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados 3 e 5 (como podemos ver na imagem abaixo).

⟹ Segmento MN: o mesmo do segmento PM que é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados 3 e 5 também. Assim, como ambos os triângulos possuem as mesmas medidas dos catetos e de suas hipotenusas podemos assim multiplicar o resultado de uma das contas por 2 para obter as duas hipotenusas.

Então temos que a hipotenusa (x) vale:

3² + 5² = x²

9 + 25 = x²

34 = x²

x= √34

Assim a soma do perímetro vale: 6 + 2√34 ou 6 + √34 + √34