Question

observe o numero complexo que possui argumento restrito ao intervalo (o, pi/2) apresentado no quadro abaixo.

z = 1 + raiz de 3i

Answer 1

A forma polar do número complexo z = 1 + √3i é alternativa a)

z = 2(cos π/3 + i . sen π/3 )

Forma polar de um número complexo

Um número complexo na forma polar tem o seguinte formato:

z = ρ (Cos Φ + i . senΦ)

ρ → é o módulo do número complexo

Ф → é o argumento do número complexo

Determinamos o módulo de um número complexo da seguinte forma, dado um número complexo na forma algébrica z  = a + bi, temos:

ρ = $\sqrt{a^{2} + b^{2} }$

Então, pelo enunciado temos que a forma algébrica do número complexo é z = 1 + √3i, assim temos, a = 1  e b = √3.

ρ = $\sqrt{1^{2} +(\sqrt{3})^{2} } =\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

ρ = 2

Agora, precisamos encontrar o argumento do número complexo que é encontrado da seguinte forma:

• senФ = b/ρ

• cosФ = a/ρ

substituindo os valores de a = 1 e b = √3, teremos:

senФ = √3/2                               cosФ = 1/2

Para os valores de seno e cosseno encontrados, teremos os seguinte valor para Ф = 60° ou Ф = π/3

Assim, basta substituir os valores encontrados em z = ρ (Cos Φ + senΦ . i)

z = 2(cos π/3 + i . sen π/3 )

Portanto, a forma polar do número complexo z = 1 + √3i é

z = 2(cos π/3 + i . sen π/3 )

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