Question

Observe a série abaixo responda:

1 ) Encontre as somas parciais S₁, S₂, S₃.
2 ) Ache Sn e mostre que a série não é convergente.

Answer 1

1)

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}\\ \\ \\ S_1=1\\ \\ \\ S_2=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\\ \\ \\ S_3=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{6}$

2) Criterio de Cauchy.
Seja $a_n=\dfrac{1}{n}$, fazemos $n=2^m$ e $p=2^m$ entao:

      $a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}=\dfrac{1}{2^m+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^m+2^m}$


Veja que $\dfrac{1}{2^m+i}\geq\dfrac{1}{2^m+2^m}\,,\,\forall i\in[1,p]$ por ende


     $\dfrac{1}{2^m+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^m+2^m}\geq\dfrac{2^m}{2^m+2^m}=\dfrac{1}{2}$


Isto quer dizer que o criterio de Cauchy nao se cumple, asim a serie diverge.