Question

Nem sempre é simples determinar a transormada de Laplace Inversa.
Neste sentido as frações parciais constituem uma técnica importante para determina-la.
Ao se abordar a tecnica de frações parciais para Transformadas de Laplace Inversa, costuma-se dividir em três situações:

I) O denominador da Transformada de Laplace contém apenas fatores lineares distintos:
F(s)=_______1_______
(s-a)(s-b)(s-c)

II) O denominador da Transformada de Laplace contém fatores lineares repetidos:
F(s)=____1____
As²(s-a)

III) O denominador da Transformada de Laplace contém um fator quadrático irredutível:
F(s)= _____1_____
s^n(s²+a)

Determine a Transormada de Laplace Inversa de
F(s)= _______1_______
(s-1)(s+3)(s+5)


Legenda: " ^ ", significa elevado

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{No dom\'inio de Laplace, temos}\\\\ \mathsf{F(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s+3)(s+5)}}\\\\\\ \textsf{O denominador \'e o produto de tr\^es fatores lineares}\\\textsf{distintos. Os polos (ra\'izes do denominador) s\~ao}\\\\ \mathsf{p_1=1,\;p_2=-3,\;p_3=-5.}\\\\\\ \textsf{A decomposi\c{c}\~ao de F(s) em fra\c{c}\~oes parciais:} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{F(s)=\dfrac{A}{s-1}+\dfrac{B}{s+3}+\dfrac{C}{s+5}\qquad(i)}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{(s-1)(s+3)(s+5)}=\dfrac{A}{s-1}+\dfrac{B}{s+3}+\dfrac{C}{s+5}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Reduzindo os termos do lado direito ao mesmo denominador:}\\\\ \end{array}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{(s-1)(s+3)(s+5)}=\dfrac{A(s+3)(s+5)+B(s-1)(s+5)+C(s-1)(s+3)}{(s-1)(s+3)(s+5)}}\\\\\\ \large\begin{array}{l} \mathsf{1=A(s+3)(s+5)+B(s-1)(s+5)+C(s-1)(s+3)\qquad(ii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Nosso trabalho \'e encontrar os valores das constantes A,\,B,\,C,}\\\textsf{de modo que (ii) seja satisfeita.}\\\\\\ \textsf{Como os polos s\~ao reais distintos, um bom truque \'e igualar}\\\textsf{s a cada um dos polos e encontrar as constantes.}\\\\ \textsf{Isto funciona por causa da continuidade das fun\c{c}\~oes racionais.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l}\textsf{Na igualdade (ii)}\\\\ \bullet~~\textsf{para }\mathsf{s=1,}\\\\ \mathsf{1=A(1+3)(1+5)+B(1-1)(1+5)+C(1-1)(1+3)}\\\\ \mathsf{1=A\cdot 4\cdot 6+B\cdot 0\cdot 6+C\cdot 0\cdot 4}\\\\ \mathsf{1=A\cdot 24}\\\\ \mathsf{A=\dfrac{1}{24}\qquad\checkmark} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \bullet~~\textsf{para }\mathsf{s=-3,}\\\\ \mathsf{1=A(-3+3)(-3+5)+B(-3-1)(-3+5)+C(-3-1)(-3+3)}\\\\ \mathsf{1=A\cdot 0\cdot 2+B\cdot (-4)\cdot 2+C\cdot (-4)\cdot 0}\\\\ \mathsf{1=B\cdot (-8)}\\\\ \mathsf{B=-\,\dfrac{1}{8}\qquad\checkmark} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \bullet~~\textsf{para }\mathsf{s=-5,}\\\\ \mathsf{1=A(-5+3)(-5+5)+B(-5-1)(-5+5)+C(-5-1)(-5+3)}\\\\ \mathsf{1=A\cdot (-2)\cdot 0+B\cdot (-6)\cdot 0+C\cdot (-6)\cdot (-2)}\\\\ \mathsf{1=C\cdot 12}\\\\ \mathsf{C=\dfrac{1}{12}\qquad\checkmark} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Voltando a (i), }\mathsf{F(s)}\textsf{ decomposta em fra\c{c}\~oes parciais:}\\\\ \mathsf{F(s)=\dfrac{\frac{1}{24}}{s-1}-\dfrac{\frac{1}{8}}{s+3}+\dfrac{\frac{1}{12}}{s+5}}\\\\ \mathsf{F(s)=\dfrac{1}{24}\cdot \dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{s+3}+\dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{1}{s+5}\qquad(iii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Temos tabelado esta transformada inversa}\\\\ \mathsf{\mathcal{L}_s^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-p}\right\}=e^{pt},\quad t\ge 0}\\\\\\ \textsf{al\'em de este ser um operador linear. Dessa forma,}\\\\ \mathsf{f(t)=\mathcal{L}_s^{-1}\left\{F(s) \right\}}\\\\ \mathsf{f(t)=\mathcal{L}_s^{-1}\left\{\dfrac{1}{24}\cdot \dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{s+3}+\dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{1}{s+5} \right\}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{f(t)=\dfrac{1}{24}\,\mathcal{L}_s^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-1}\right\}-\dfrac{1}{8}\,\mathcal{L}_s^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+3}\right\}+\dfrac{1}{12}\,\mathcal{L}_s^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+5}\right\}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f(t)=\dfrac{1}{24}\,e^t-\dfrac{1}{8}\,e^{-3t}+\dfrac{1}{12}\,e^{-5t},\quad t\ge 0} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.} \end{array}$


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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: transformada laplace inversa frações parciais polo exponencial tabela