Question

observe a sequência: 10, 11, 13, 16, 20, ... agora responda: a) essa sequência é finita ou infinita? b) qual o padão dessa sequência? c) qual o proximo termo dessa sequencia ? d) qual o oitavo termo dessa sequência?

Answer 1

É dada a sequência numérica

     $\mathsf{(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}=(10,\,11,\,13,\,16,\,20,\,\ldots)}$


a)  Esta sequência é infinita porque há uma indicação com reticências ao final dos termos listados.


b)  Deseja-se saber qual é a lei de formação para esta sequência.

Observe que se tomarmos uma sequência auxiliar cujos termos são diferenças entre dois termos consecutivos de  $\mathsf{(a_n),}$  observamos um padrão:

     $\mathsf{a_2-a_1=11-10=1}\\\\ \mathsf{a_3-a_2=13-11=2}\\\\ \mathsf{a_4-a_3=16-13=3}\\\\ \mathsf{a_5-a_4=20-16=4}\\\\ \vdots\\\\ \mathsf{a_n-a_{n-1}=n-1\qquad com~~n>1}$


Some todas as equações acima membro a membro. No lado esquerdo, os termos intermediários com sinais opostos se anulam. E ficamos com

     $\mathsf{-a_1+a_n=1+2+3+4+\ldots +(n-1)}\\\\ \mathsf{\displaystyle -a_1+a_n=\sum_{k=1}^{n-1} k}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} k}$


O somatório que aparece no lado direito é a soma de uma progressão aritmética.

Aplicando a fórmula para a soma dos termos de uma P.A., temos

     $\mathsf{\displaystyle a_n=a_1+\dfrac{\big[1+(n-1)\big]\cdot (n-1)}{2}}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_n=10+\dfrac{n(n-1)}{2}}\end{array}}\qquad \mathsf{com~~n\in\mathbb{N}^*}$

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c)  O próximo termo é o 6º termo, que é

     $\mathsf{a_6=10+\dfrac{6(6-1)}{2}}\\\\\\ \mathsf{a_6=10+\dfrac{6\cdot 5}{2}}\\\\\\ \mathsf{a_6=10+\dfrac{30}{2}}\\\\\\ \mathsf{a_6=10+15}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_6=25}\end{array}}$


d)  O 8º termo é

     $\mathsf{a_8=10+\dfrac{8(8-1)}{2}}\\\\\\ \mathsf{a_8=10+\dfrac{8\cdot 7}{2}}\\\\\\ \mathsf{a_8=10+\dfrac{56}{2}}\\\\\\ \mathsf{a_8=10+28}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_8=38}\end{array}}$


Bons estudos! :-)