Question

Observe a seguinte inequação logarítmica.

log₇(x-2) + log₇3 ≤ log₇7

O conjunto-solução da inequação logarítmica é:

OBS: A resposta é letra E, eu quero a resolução (como foi feito)

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Answer 1

Inicialmente, devemos lembrar das condições de existência do logaritmo: a base deve ser maior que 0 e diferente de 1, e o logaritmando maior que 0. Ou seja, utilizando a segunda condição:

$(x-2) > 0\\\\ \textsf{Intervalo 1 :}\boxed{x > 2}$

Além disso, pelas propriedades, a soma de logaritmos de mesma base pode ser convertida em um produto de logaritmandos, observe o caso genérico (log na base 10, mas pode ser qualquer base):

$log a + log b = log (a.b)$

Assim sendo, faremos:

$log_7(x-2) + log_73 = log_7[(x-2).3] = log_7(3x-6)$

Após isso, substituiremos na inequação.

$log_7(3x-6) \leq log_77$

Quando se trata de uma inequação com logaritmos de mesma base, em ambos os lados, podemos omití-los. Isso desde que a base SEJA MAIOR QUE 1 (pois senão, inverteríamos o sinal da desigualdade).

$3x-6 \leq 7\\\\3x \leq 13\\\\\textsf{Intervalo 2 :}\boxed{x \leq \frac{13}{3}}$

Finalmente, a solução será a união dos dois intervalos encontrados.

$x > 2~\cup~x \leq \frac{13}{3} \Leftrightarrow 2 < x \leq \frac{13}{3} \\\\\\\boxed{S = \{x\in\mathbb{R}~|~2 < x \leq \tfrac{13}{3}\}}$

Resposta: E)