Question

Observe a figura e determine o comprimento dos catetos do triângulo ABC e em seguida determine o perímetro desse triângulo.

Answer 1

Resposta:

Catetos:

$2x+2 = 12 u.c.$

$3x+1 = 16 u.c.$

Perímetro:

$P = 48 u.c.$

Explicação passo a passo:

Temos um problema típico de Teorema de Pitágoras.

Esse Teorema estabelece que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. A hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto e os catetos são os lados adjacentes ao ângulo reto.

Colocando na forma de uma equação matemática, se chamarmos a hipotenusa de "a" e os catetos de "b" e "c", temos:

$a^2 = b^2 + c^2$

Agora que temos a relação entre catetos e hipotenusa, é só substituir as equações da figura para cada um dos lados na equação do Teorema de Pitágoras para descobrir o valor de $x$.

$a = 4x$

$b = 2x + 2$

$c = 3x+1$

$a^2 = (4x)^2$

$b^2 = (2x+2)^2$

$c^2 = (3x+1)^2$

$(4x)^2 = (2x+2)^2 + (3x+1)^2$

Utilizando as propriedades de quadrado da soma, sabemos que para uma soma do tipo $a + b$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2$

Portanto:

$16x^2 = (2x)^2 + 2. 2. 2x + 2^2 + (3x)^2 + 2. 3. 1 x + 1^2$

$16x^2 = 4x^2 + 8x + 4 + 9x^2 + 6x + 1$

$16x^2 = 13x^2 + 14x + 5$

$3x^2 - 14x-5 = 0$

Agora temos um típico problema de encontrar as raízes de uma função do segundo grau.

Para uma função do segundo grau escrita genericamente como:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

$c = 3x+1 = 3.2 + 1$

Para uma função do segundo grau, temos sempre duas raízes $f(x) = 0$, que são encontradas pela fórmula de Bhaskara:

$x =(-b +- \sqrt{b^2 - 4ac})/2a$

Nesse caso, temos então:

$x = (-(-14) +- \sqrt{14^2 - 4. 3.(-5)}) / (2.3)$

$x = (14 +-\sqrt{196-60})/6$

$x = (14 + \sqrt{256})/6$

$x = (14 +-16)/6$

$x_1 = (14+16)/6$      $x_2 = (14-16)/6$

$x_1 = 30/6 = 5$          $x_2 = -2/6 = -1/3$

Para o propósito desse problema, em que queremos encontrar os lados de um triângulo, a raiz $x_2 = -1/3$ não é válida, caso contrário, teríamos um lado negativo, o que não é possível. Portanto, nesse caso, temos $x = 5$.

Agora só precisamos encontrar os catetos e por fim somar os comprimentos de todos os lados para encontrar o perímetro.

$b = (2x+2) = 2.5 + 2$

$b = 12$

$c = (3x+1) = 3.5 + 1$

$c = 16$

Para encontrar o perímetro, temos que achar também o valor da hipotenusa, já que o perímetro é a soma do comprimento de todos os lados.

$a = 4x = 4.5 = 20$

Fazendo a prova real para ter certeza de que os valores estão certos, podemos substituir os valores encontrados no Teorema de Pitágoras e ver se eles obedecem a equação $a^2 = b^2 + c^2$

$(20)^2 = 400\\(12)^2 = 144\\(16)^2 = 256$

$256 + 144 = 400$

E o perímetro é dado por:

$P = 12 + 16 + 20\\P = 48 u.c.$