Question

Observe a figura: a circunferência maior tem o centro O e raio R; as duas circunferências menores se tangenciam em O.

a) a medida da área do círculo maior é Quantas vezes a medida da área da parte azul?

b) prove que o perímetro do círculo é maior igual ao perímetro da parte em azul.

Answer 1

Bom dia, companheiro :) 

O exercício pode ser bem trabalhoso. Vamos lá

a) extraindo os dados: 

R= raio da circunferëncia maior = diametro de cada circunferencia menor= 2r

A área da circunferencia maior é dada por πR², como R=2r, entao 

Área da circunferencia = Acirc = π(2r)² = 4πr².

A parte hachurada em azul é o equivalente a medida do semi-circulo maior (imagine que metade do circulo menor de cima deslocou-se para o circulo debaixo).

Entao, a área hachurada (Ah) é igual a 1/2πR² <=> 1/2π(2r)² <=> 1/2π4r² <=> 2πr²

Comparando as duas, temos que

Acirc    -      4πr²
Ah       -      2πr²

Acirc=Ah*4πr²/2πr²
Acirc=Ah*2
Acirc=2Ah  -> isto é, a área do círculo equivale ao dobro da área hachurada (já que ela é um semi-circulo).

b) Perímetro círculo = Pec
Perímetro da área hachurada = Ph

Pec ≥ Ph

2πR ≥ Ph (I)

Perceba que Ph possui o perímetro do semi-círculo maior acrescido do perímetro de dois semi-círculos menores. Dois semi-círculos de mesmas dimensóes implicam em um círculo inteiro. Portanto,

Ph=1/2*2πR+2πr
Ph=πR+2πr (II)

2πR ≥ πR+2πr
2π*(2r) ≥ π(2r)+2πr
4πr ≥ 2πr+2πr  

Pronto, o perímetro do círculo é maior ou igual ao perímetro da regiáo hachurada.

Espero ter ajudado.