Question

Observa-se o movimento de um oscilador harmônico simples. Quando o mesmo se encontra a 0,6 m à direita de sua posição de equilíbrio, sua velocidade é de 2,2 m/s para a direita e sua aceleração igual a 8,4 m/s² para a esquerda. Determine a amplitude desde movimento harmônico. Dê sua resposta em m.

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Oscilações, concluímos que a amplitude desse movimento é de  0,84 m

☛     O Movimento Harmônico Simples (MHS) é o movimento produzido devido a uma força resultante que é elástica (força restauradora). Pela Segunda Lei de Newton,

$\displaystyle\Sigma F_x=-kx=ma$

Reescrevendo  $a$  como  $d^2x/dt^2$ , dividindo a equação por  $m$  e reorganizando, temos

$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$

É a equação diferencial do MHS, E a solução geral é  $x=A\cos(\omega t+\phi)$ . Em que  $A$  é a amplitude,  $\omega=\sqrt{k/m}$  é a velocidade/frequência angular,  $\omega t+\phi$  é a fase, sendo  $\phi$  a fase inicial.

☛     Da solução geral temos:

$\begin{array}{l}v=dx/dt=-\omega A\sin( \omega t+\phi )\\a=dv/dt=-\omega^{2} A\cos( \omega t+\phi ) =-\omega ^{2} x\end{array}$

• Conservação da Energia Mecânica no MHS.

☛     A força elástica é uma força conservativa. Se ela é a única força atuando no sistema, então a energia mecânica ser conserva. Assim,

$E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$

Quando o oscilador se encontra em seu deslocamento máximo, ele para momentaneamente e sua energia é só potencial e igual a  $\frac{1}{2}kA^2$ . Portanto,

$mv^2+kx^2=kA^2$  ou  $v^2=\frac{k}{m}(A^2-x^2)=\omega^2(A^2-x^2)$

➜     Na sua questão, foi nos dado  $x=0,6 \ m$ ,  $v=2,2 \ m/s$  e  $a=-8,4 \ m/s^2$ . Aqui consideramos o sentido positivo pra direita. Usando a equação  $a=-\omega ^2x$ , temos

$\omega ^2=-a/x=-(-8,4)/0,6=14 \ rad/s$ .

E usando  $v^2=\omega^2(A^2-x^2)$  , temos

$A=\sqrt{\frac{v^2}{\omega ^2}+x^2}=\sqrt{\frac{2,2^2}{14}+0,6^2}=0,84 \ m$

∴     A amplitude desse movimento é de  0,84 m   ✍️

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