Question

Obra a lei das formações da sequência e determine os valores que faltam :-5,__,1,3__,...*

Answer 1

Resposta:

Obs: esse tipo de questão é muito ruim pois não tem uma resposta única, então essa é uma de muitas respostas para o problema.

Lei da Sequência: $a_{n}=n\cdot sen^{2}(n\frac{\pi}{2})+(3n-5)\cdot cos^{2}(n\frac{\pi}{2})$

valores que faltam: $a_{1}=1; a_{4}=7$

Explicação passo-a-passo:

Como eu já disse, esse tipo de questão permite várias respostas e essa é apenas uma dentre as várias outras que existem. Mas segue a minha resolução:

Pela informação do enunciado, temos que para índices pares (começando a contar de n=0), seu valor correspondente é -5 mais 3 vezes o valor do índice. Exemplo:

para valores pares de n temos: $a_{0}=-5$ e $a_{2}=-5 + 3(2)=-5+6=1$.

Pela informação do enunciado, podemos assumir também que para índices ímpares (n = 1, 3, 5...), seu valor correspondente é o próprio valor do índice. Exemplo:

(o enunciado apenas dá um exemplo)

para valores ímpares de n temos: $a_{3}=3$.

Para juntar as duas soluções utilizaremos funções trigonométricas:

Note que para valores pares de n, o valor do seno ao quadrado de nπ/2 é sempre igual a 0, e para valores ímpares de n essa mesma expressão é sempre igual a 1. O contrário vale para o cosseno ao quadrado de nπ/2, ou seja, para valores pares de n, a expressã vale 1 e para valores ímpares de n essa expressão vale 0.

Juntando essa propriedade da trigonometria e a formação da sequência para diferentes paridades de n, temos que:

$\left \{ {{a_{n}=3n-5\;\;; \;\;se \;\;n \;\;for \;\;par} \atop {a_{n}=n\;\;; \;\;se \;\;n \;\;for \;\; impar}} \right.$

Agora unindo esse sistema com os senos e cossenos temos:

$a_{n}=n\cdot sen^{2}(n\frac{\pi}{2})+(3n-5)\cdot cos^{2}(n\frac{\pi}{2})$

Só de curiosidade eu computei os 16 primeiros valores dessa sequência:

(-5, 1, 1, 3, 7, 5, 13, 7, 19, 9, 25, 11, 31, 13, 37, 15, ...)