Question

(OBM) Sejam r e s números reais inteiros. Sabe-se que a equação do segundo grau x^2 - (r + s)x + rs + 2010=0 tem as duas soluções inteiras. Quantos são os possíveis valores de | r - s | ?

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, o primeiro passo é estender a equação. Teremos:

$\mathsf{x^2-(r+s)x+rs+2.010=0}\\\\\mathsf{x^2-xr-xs+rs+2.010=0}$ 

Organizando a equação, podemos isolar (x – s). Teremos:

$\mathsf{x^2-xr-xs+rs+2.010=0}\\\\\mathsf{x^2-xs-xr+rs+2.010=0}\\\\\mathsf{x\left(x-s\right)-r\left(x-s\right)+2.010=0}$ 

 

Como temos (x – s) duas vezes em forma de produto com outo valor, podemos fatorar mais uma vez, agrupando os que estão multiplicando (x – s). Teremos:

 

$\mathsf{x\left(x-s\right)-r\left(x-s\right)+2.010=0}\\\\\mathsf{\left(x-s\right)\left(x-r\right)+2.010=0}$

 

Agora, é conveniente levar o 2.010 para o segundo membro. Como desejamos que 2.010 seja positivo (o módulo sempre retorna valores positivos), multiplico os dois membros por -1.Teremos:

 

 $\mathsf{\left(x-s\right)\left(x-r\right)+2.010=0}\\\\\mathsf{\left(x-s\right)\left(x-r\right)\cdot(-1)=-2.010\cdot(-1)}\\\\\mathsf{\left(x-s\right)\left(-x+r\right)=2.010}\\\\\mathsf{\left(x-s\right)\left(r-x\right)=2.010}$

Temos que o produto dos binômios é 2.010. Por conveniência, nomeio os binômios de m e n:

 

$\mathsf{x-s=m}\\\\\mathsf{r-x=n}$

Se somarmos os valores de m e n, que são iguais a (x – s) e (r – x), teremos:

 

$\mathsf{\left(x-s\right)+\left(r-x\right)=m+n}\\\\\mathsf{x-s+r-x=m+n}\\\\ \mathsf{x-x+r-s=m+n}\\\\\mathsf{r-s=m+n~~\therefore~~|r-s|=m+n}$

 

A diferença entre r e s é igual ao módulo da mesma diferença, pois o módulo retorna o valor positivo.

 

Para encontrar os valores de m e n, basta fatorar o 2.010 e descobrir os seus múltiplos, fazendo manipulações algébricas entre os múltiplos. Teremos:

 

$\begin{array}{rcl}2.010&|&2\\1.005&|&3\\335&|&5\\67&|&67\\1&|\end{array}$

 

Os múltiplos de 2.010 são 2, 3, 5, 67.

 

Os valores de m e n devem satisfazer as seguinte propriedade:

 

$\mathsf{m\cdot n=2.010}$ 

Os agrupamentos possíveis são:

 

$\begin{array}{lcrcl}~~~~~~~&\mathsf{m,~n}&~\therefore~&\mathsf{m\cdot n=2.010}\\\\\mathsf{1^{\circ}}&\mathsf{1,~2.010}&~\therefore~&\mathsf{1\cdot2.010=2.010}\\\\\mathsf{2^{\circ}}&\mathsf{2,~1.005}&~\therefore~&\mathsf{2\cdot1.005=2.010}\\\\\mathsf{3^{\circ}}&\mathsf{3,~670}&~\therefore~&\mathsf{3\cdot670=2.010}\\\\\mathsf{4^{\circ}}&\mathsf{5,~402}&~\therefore~&\mathsf{5\cdot402=2.010}\\\\\mathsf{5^{\circ}}&\mathsf{6,~335}&~\therefore~&\mathsf{6\cdot335=2.010}\\\\\mathsf{6^{\circ}}&\mathsf{10,~201}&~\therefore~&\mathsf{10\cdot201=2.010}\\\\\mathsf{7^{\circ}}&\mathsf{15,~134}&~\therefore~&\mathsf{15\cdot134=2.010}\\\\\mathsf{8^{\circ}}&\mathsf{30,~67}&~\therefore~&\mathsf{30\cdot67=2.010}\\\\\end{array}$

 

Com base nisso, podemos afirmar que são 8 resultados possíveis.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.