Question

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Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem "TOM MARVOLO RIDDLE" gerou a frase Suponha que Harry quisesse formar todos os

9!

41 5!

© 2x 4! 5!

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2

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2

es

OS

"I AM LORD VOLDEMORT".

anagramas da frase "I AM POTTER", de tal forma

que as vogais e consoantes aparecessem sempre

intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre

as letras.

Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

Answer 1

Alternativa E: nessas condições, o número de anagramas é dado por 4!x5!/2!.

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer. Dentre os métodos de análise combinatória, temos o arranjo, a permutação e a combinação, entre outros.

Os anagramas são todas as maneiras de escrever uma palavra mudando as letras de lugares. A quantidade de anagramas de uma palavra é calculada por meio do fatorial do número de letras existente.

Nesse caso, veja que a expressão "I AM POTTER" possui nove letras, sendo cinco consoantes e quatro vogais.

Para escrever anagramas com vogais e consoantes alternando de posição, devemos começar com uma consoante, pois possui uma letra a mais. Assim, temos 5 possibilidades de consoante para a primeira letra.

Depois, temos 4 possibilidades de vogais, 4 possibilidades de consoantes, 3 de vogais, 3 de consoantes... E assim, sucessivamente, até formar a palavra.

Logo, o número de combinações disponíveis é:

5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1

Veja que podemos agrupar esses fatores em dois fatoriais: 5! x 4!.

Contudo, temos uma letra que se repete: T, que aparece duas vezes. Por isso, devemos dividir o valor anterior por 2!.

Portanto, nessas condições, o número de anagramas é dado por:

$Anagramas=\dfrac{5!\times 4!}{2!}$

Answer 2

O número de anagramas formados é de (5! x 4!)/2!, o que torna correta a alternativa c).

Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é a permutação. Em análise combinatória, a permutação é utilizada para descobrirmos de quantas maneiras podemos ordenar os n elementos de um conjunto.

Assim, um problema de anagramas se torna um problema de permutação.

Observando o problema, é desejado que as vogais e as consoantes estejam intercaladas. Com isso, temos as vogais I, A, O, E, o que totaliza 4 vogais, e temos as consoantes M, P, T, T, R, o que totaliza 5 consoantes.

Para que as vogais e as consoantes estejam intercaladas, é necessário que o anagrama comece por uma consoante. Assim, para a primeira posição temos 5 possibildades.

Após, temos 4 vogais possíveis e 4 consoantes possíveis, repetindo o padrão na sequência.

Com isso, temos que o número de possibilidades é de 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1. Como existem duas letras que se repetem, devemos dividir o resultado pelo fatorial desse número.

Assim, temos que o número de possibilidades é de (5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1)/2!.

Observando o valor de cima, e utilizando da regra que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, podemos rearranjar essa multiplicação como sendo 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1. Assim, podemos escrever essas multiplicações como sendo 5! x 4!.

Por fim, concluímos que o número de anagramas formados é de (5! x 4!)/2!, o que torna correta a alternativa c).

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