Question

O volume gerado pela rotação em torno do eixo dos x do gráfico de uma função y= f(x) num intervalo [a,b], é dado por V= π. a∫b y² dx.
Sendo assim, calculo o volume do solido de revolução gerado pela função y= 2x em torno do eixo dos X, no intervalo x E [1,2]

a) V= $\frac{32}{3}$ π
b) V= $\frac{2}{3}$ π
c) V= $\frac{14}{3}$ π
d) V= $\frac{28}{3}$ π

Answer 1

Bom dia Chalie!

Solução!

Formula para calcular o volume do solido!


$\boxed{V=\displaystyle \pi \int _{a} ^{b}[f(x)]^{2}dx}$

$f(x)=2x\\\\\ a=1\\\\ b=2$


$V=\displaystyle \pi \int _{1} ^{2}[2x]^{2}dx\\\\\\\\ V=\displaystyle \pi \int _{1} ^{2}(4 x^{2}) dx\\\\\\\\ V=\displaystyle \pi \int _{1} ^{2} \frac{4 x^{(2+1)} }{(2+1)} dx=\frac{4 x^{3} }{3}\\\\\\\\ V= \pi \Bigg| _{1}^{2} \frac{4 x^{3} }{3}\\\\\\\\\ V= \pi \Bigg| _{1}^{2} \left ( \frac{4 x^{3} }{3}\right )-\left (\frac{4 x^{3} }{3}\right )\\\\\\\ V= \pi \Bigg| _{1}^{2} \left ( \dfrac{4 (2)^{3} }{3}\right )-\left (\dfrac{4 (1)^{3} }{3}\right )$


$V= \pi \Bigg| _{1}^{2} \left ( \dfrac{4 (8) }{3}\right )-\left (\dfrac{4 (1) }{3}\right )\\\\\\\ V= \pi \Bigg| _{1}^{2} \left ( \dfrac{32 }{3}\right )-\left (\dfrac{4 }{3}\right )\\\\\\\ V= \pi \Bigg| _{1}^{2} \left ( \dfrac{32-4 }{3}\right )\\\\\\ V= \pi \left ( \dfrac{28 }{3}\right )\\\\\\ V= \dfrac{28 \pi }{3}$


$\boxed{Resposta:V=\displaystyle \pi \int _{1} ^{2}[2x]^{2}dx= \frac{28 \pi }{3}~~~~\boxed{Alternativa~~D} }$

Bom dia!
Bons estudos!

Answer 2

Olá,

V = π ∫ y² dx
V = π ∫ (2x)² dx
V = π ∫ 4x² dx
V = 4π ∫ x² dx
V = 4π [(b³/3)-(a³/3)]

Para a = 1 e b = 2

V = 4π [(2³/3)-(1³/3)]
V = 4π [8/3-1/3]
V = 4π [7/3]
V = 28π/3

Resposta:

d)