Question

o volume do solido obtido girando-se em relação do eixo y, a regiâo limitada pels retas x=0, y=1, y=4 e y=raiz de x 1 é:

Answer 1

Vamos lá: 

■ Primeiro vamos aos dados do exercício:

1)Retas limitadoras da região plana: x =0 ; y=1; y = 4; 
2)Função limitadora da região: y = √x + 1 (é isso? eu vou supor isso!)
3) Rotação dessa região limitada pelas curvas de (1) e (2) vai girar em torno do eixo y (eixo das ordenadas)
4) Segue no anexo a descrição dessa região no plano cartesiano.

■ Agora vamos determinar o raio típico R(y) que vai gerar esse sólido em torno de y, para x em função de y: x = x(y). Primeiramente, y = √x +1 é a curva que parte de (0,1) e cruza y=4 em x = 9. Fica assim: 
y = √x + 1
√x = y -1
x = (y-1)² 
x = y² - 2y + 1
x(y) = y² - 2y + 1 ← x é função de y 
R(y) = y² - 2y + 1 ← raio R(y) que vai gerar o sólido.

■ Cálculos do Volume.

4
∫ π R(y) dy = V
1

4
∫ π [y² - 2y +1] dy = V
1  

π[y³/3 - y²/2 + y]|{1,4} = V

π[(4³/3 - 4²/2 + 4) - (1³/3 - 1²/2 + 1)] = V

π[64/3 - 16/2 + 4) - (1/3 - 1/2 + 1)] = V 

π[(52/3) - (5/6)] = V

V = (33/2).π 

Segue em anexo a região que gera esse sólido.

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14/10/2016
Sepauto 
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Answer 2

Resposta:

9 Pi uv

Explicação passo a passo:

y=√x+1

√x=y-1

x=(y-1)²

x=y^2-2y+1

∫_1^4▒〖π R(y)dy〗

∫_1^4▒〖π (y^2-2y+1)dy〗=V

π  y^3/3-y^2+y=V |4,1

π  4³/3-4^2+4-((1^3/3-1^2+1)=V

π  64/3-16+4-1/3+1-1=V

π  (64-36-1)/3=V

π  27/3=V

V=9π