Question

O volume de um balão cresce de acordo com a fórmula dV/dt= raiz( t+1) + 2/3t , onde V cm³ é o seu volume em t segundos. Se V= 33 cm³ quando t = 3, ache a fórmula do volume e o volume do balão em 8 segundos.
(obs:integral)

Answer 1

Seja a taxa de crescimento temporal instantâneo do balão:

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt} \ = \ \sqrt{t \ + \ 1} \ + \ \dfrac{2\cdot t}{3}}$

Temos que a primitiva / integral indefinida dessa taxa é o próprio volume instantâneo do balão:

$\mathsf{{\dfrac{dV}{dt} \ = \ \sqrt{t \ + \ 1} \ + \ \dfrac{2\cdot t}{3}} \ \rightarrow \ \int\limits \bigg(\dfrac{dV}{dt}\bigg) \ dt \ = \ V(t)}$

$\mathsf{\int\limits \bigg(\sqrt{t \ + \ 1} \ + \ \dfrac{2\cdot t}{3} \bigg) \ dt \ = \ V(t)}$

$\mathsf{\int\limits \sqrt{t \ + \ 1} \ dx \ + \ \int\limits \dfrac{2\cdot t}{3} \ dt \ = \ V(t)}$

Para integrarmos $\mathsf{\sqrt{t \ + \ 1}}$, fazemos a substituição:

$\mathsf{t \ + \ 1 \ = \ x \ \Rightarrow \ \dfrac{d\big(t \ + \ 1\big)}{dt} \ = \ \dfrac{dx}{dt}}$

$\mathsf{t \ = \ \dfrac{dx}{dt} \ \Rightarrow \ dt \ = dx \ (em \ infinitesimais)}$

$\mathsf{\int\limits \sqrt{\underbrace{\mathsf{t \ + \ 1}}_{x}} \ dx \ + \ \int\limits \dfrac{2\cdot t}{3} \ dt \ = \ V(t)}$

$\mathsf{\int\limits \sqrt{x} \ dx \ + \ \int\limits \dfrac{2\cdot t}{3} \ dt \ = \ V(t)}$

$\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot x^{^\frac{3}{2}} \ + \ \dfrac{t^2}{3} \ + \ C \ = \ V(t)}$

Substituindo:

$\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot (t \ + \ 1)^{^\frac{3}{2}} \ + \ \dfrac{t^2}{3} \ + \ C \ = \ V(t)}$

Onde $\mathsf{C}$ é a constante da integral "maior". Ela é o volume inicial $\mathsf{V_0}$, ou seja, quando se faz $\mathsf{t \ = \ 0}$.

Logo, a fórmula do volume:

$\boxed{\mathsf{V(t) \ = \ \dfrac{2}{3}\cdot (t \ + \ 1)^{^\frac{3}{2}} \ + \ \dfrac{t^2}{3} \ + \ V_0}}$

Para $\mathsf{t \ = \ 3}$, temos $\mathsf{V(3) \ = \ 33 \ cm^3}$:

$\mathsf{33 \ = \ \dfrac{2\cdot (3 \ + \ 1)^{^\frac{3}{2}}}{3} \ + \ \dfrac{3^2}{3} \ + \ V_0 \ \Rightarrow \ \boxed{\mathsf{V_0 \ = \ \dfrac{74}{3} \ cm^3}}}$

Portanto, temos:

$\boxed{\boxed{\mathsf{V(t) \ = \ \dfrac{2}{3}\cdot (t \ + \ 1)^{^\frac{3}{2}} \ + \ \dfrac{t^2}{3} \ + \ \dfrac{74}{3}}}}$

Para $\mathsf{t \ = \ 8}$, é só substituir:

$\mathsf{\mathsf{V(8) \ = \ \dfrac{2}{3}\cdot (8 \ + \ 1)^{^\frac{3}{2}} \ + \ \dfrac{8^2}{3} \ + \ \dfrac{74}{3}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{V(8) \ = \ 64 cm^3}}}$