o vigésimo primeiro termo da p.a. (2,5,...) é:
a)59
b)62
c)65
d)71
e)80
Soluções para a tarefa
an = a₁ + ( n - 1 ) . r
an = 2 + ( 21 - 1 ) . 3
an = 2 + ( 20 ) . 3
an = 2 + 60
an = 62
RESPOSTA: Letra b.
Bons estudos, Laís.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (2, 5,...), tem-se:
a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2
c)vigésimo primeiro termo (a₂₁): ?
d)número de termos (n): 21 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 21ª), equivalente ao número de termos.)
e)Embora não se saiba o valor do vigésimo primeiro termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 5 - 2 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo primeiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₁ = 2 + (21 - 1) . (3) ⇒
a₂₁ = 2 + (20) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₂₁ = 2 + 60 ⇒
a₂₁ = 62
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O vigésimo primeiro termo da P.A.(2, 5,...) é 62. (ALTERNATIVA B.)
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₁ = 62 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
62 = a₁ + (21 - 1) . (3) ⇒
62 = a₁ + (20) . (3) ⇒
62 = a₁ + 60 ⇒ (Passa-se 60 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
62 - 60 = a₁ ⇒
2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 2 (Provado que a₂₁ = 62.)
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