Question

O vetor gradiente da função f, dada por f(x,y)= ye^xy é?

Answer 1

para um ponto (x,y) qualquer, teremos que o gradiente no onto será

$y^2e^{xy}(x,y)\hat i+(e^{xy}+xye^{xy})(x,y) \hat j$

O vetor gradiente de uma função é dada por $\nabla f(x,y)=f_x(x,y) \hat i+f_y(x,y) \hat j$

Em palavras, tomamos a derivada parcial referente à cada uma das variáveis da função e, em seguida, multiplicamos esta derivada parcial pelo ponto e pela direção referente à derivada parcial tomada.

Dada a função $f(x,y)=ye^{xy}$ as suas derivadas parciais ser~ao

$f_x(x,y)=y^2e^{xy}$

$f_y(x,y)=e^{xy}+xye^{xy}$

Assim, para um ponto (x,y) qualquer, teremos que o gradiente no ponto será

$y^2e^{xy}(x,y)\hat i+(e^{xy}+xye^{xy})(x,y) \hat j$

E, para revisar, a função gradiente nos dá a direção de crescimento máximo (ou mínimo) de uma curva no espaço.

Um exemplo típico é o da função paraboloide $f(x)=x^2 + y^2$ que tem gradiente $\nabla f(x,y)=2x(x,y)i+2y(x,y)j$

As derivadas parciais tomadas nos revelam os caminhos que fazem a afunção ir para o seu extremo de forma mais rápida.

Se andarmos de forma perpendicular à dada pelo gradiente, estaremos caminhando nos pontos que tem inclinação zero (curvas de nivel)

Answer 2

Resposta:

f (x,y) = y²e^xy i + ( e^xy + ye^xy) j

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