Matemática, perguntado por jesuscarosa, 1 ano atrás

o vetor gradiente da função f, dada por f (X,y)=5x^2y^2 é

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped
3

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

       \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(x, y) = (10xy^{2},\,10x^{2}y)\:\:\:}}\end{gathered}$}

Seja a função polinomial:

                           \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x, y) = 5x^{2}y^{2}\end{gathered}$}

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}

Então, temos:

  • Calculando o vetor gradiente da função:

             \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$}

                                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}

                                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2\cdot5\cdot x\cdot y^{2} \cdot\vec{i} + 2\cdot5\cdot x^{2}\cdot y\cdot \vec{j}\end{gathered}$}

                                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 10xy^{2}\,\vec{i} + 10x^{2}y\,\vec{j}\end{gathered}$}

                                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (10xy^{2},\,10x^{2}y)\end{gathered}$}

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = (10xy^{2},\,10x^{2}y)\end{gathered}$}

\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}

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