Question

O valor do limite $\lim_{x \to \1} \frac{ \sqrt[3]{x} -1}{ \sqrt[4]{x}-1 }$ é?

a) Não existe.
b) $\frac{2}{3}$
c) 0.
d)$\frac{4}{3}$
e)1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o limite, quando "x" tende a "1" na seguinte expressão:

lim [∛(x) - 1] /  ⁴√(x) - 1]
x-->1

Veja: se formos substituir o "x" por "1" diretamente, vamos encontrar algo como "0/0" e isto é uma indeterminação. Então teremos que levantar essa indeterminação. Assim, faremos o seguinte: encontraremos, de forma independente, a primeira derivada do numerador e do denominador. Depois substituiremos o "x" por "1" e veremos se a indeterminação desapareceu ou não. Então veja que:

a) A primeira da derivada do numerador, que é este:

∛(x) - 1 --- vamos transformar ∛(x) em x¹/³. Assim, derivando x¹/³, teremos;

(1/3)*x¹⁻¹/³ =- (1/3)*x⁻²/³ = (1/3)*1/(x)²/³ = (1/3)*1/∛(x²) =
= 1*1/3*∛(x²) = 1/3∛(x²) <--- Esta é a primeira derivada do numerador.

b) A primeira derivada do denominador, que é este:

⁴√(x) - 1 ---- transformando ⁴√(x) em (x)¹/⁴, teremos:

(x)¹/⁴ - 1 ---- derivando, teremos:

(1/4)*(x)¹/⁴⁻¹ = (1/4)*(x)⁻³/⁴ = (1/4)*(1/x³/⁴) = (1/4)*1/([⁴√(x³)] =
= 1*1/4*⁴√(x³) = 1/[4*⁴√(x³)] <--- Esta é a derivada do denominador.

c) Agora vamos substituir a expressão original pelas duas derivadas, ficando assim:

[1/3∛(x²)]/[1/[4*⁴√(x³)] ---- substituindo-se o "x" por "1", iremos ficar com:
[1/3*∛(1²)] / [1/4*⁴√(1³)] --- como 1² = 1 e como 1³ = 1, então ficaremos:
[1/3*∛(1)] / [1/4*⁴√(1)] --- e como ∛(1) = 1 e como ⁴√(1) = 1, iremos ficar com:

[(1/3*1] / [1/4*1] = (1/3) / (1/4) = (1/3)*(4/1) = 1*4/3*1 = 4/3 <--- Este é o limite pedido quando "x" tende a "1" na sua expressão original. Assim, você poderá expressar da seguinte forma:

lim [∛(x) - 1] /  ⁴√(x) - 1]  =  4/3 <---Esta é a resposta. Opção "d".
x-->1

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.